基于图论的世界贸易网络的方差研究

张露萍　尚海涛

【摘 要】世界贸易网络是一个复杂的自组织系统，本文基于图的熵的最可几估计，不同于其他研究——独立的考虑各国进口额和出口额，这里将两国有相互贸易的情形引入世界贸易网络，形成一组无参数模型，运用这些模型计算分析其拓扑性质的方差。

【关键词】自组织；图；拓扑；期望；方差

1.引言

如果一个系统不靠外部指令而形成组织，系统在内在机制的驱动下，系统内要素各尽其责而又协调地自动地形成有序结构，就是自组织系统； 在一定条件下，系统自动地由无序走向有序，由低级有序走向高级有序[1]。世界经济就是一个复杂的自组织系统，实际情况表明世界经济系统中，各国从事行业多种多样，规模差距很大，赢利能力千差万别，成长性迥异（有每年成倍增长的，也有大幅萎缩的），国家与国家之间以贸易联系起来，从而形成一个复杂网络，而这个复杂网络自行从简单向复杂、从粗糙向精细方向发展，不断地提高自身的复杂度和精细度。研究表明，世界贸易网络的拓扑性质依赖于世界各国的国民生产总值，国民生产总值又依赖于国际贸易，而国际贸易又促进世界经济，这样世界贸易网络是一个连续的反馈，其动力学性质和其拓扑性质在该网络中共同进化[2]。一般来说，理解自组织网络在科学上是个大挑战，这类网络的模型只有极少数是解析的。不过，世界贸易网络的拓扑可以由包含度序列的无参数模型产生，该做法使得研究复杂世界贸易网络成为可能[3]。本文，在介绍离散化方法后，运用该法去研究相互关联的发生，即研究有向图。图论算法中，度是一个非常重要的概念，所谓顶点的度，就是指和该顶点相关联的边数。“入度”是指有向图中某点作为图中边的终点的次数之和；以某顶点为起点，起始于该顶点的边的数目称为该顶点的“出度”[4]。这里我们引入一个新的概念——互惠度，即两个独立国家之间有相互的贸易往来，在有向图中A是起点有指向B的边，同时B是起点有指向A的边，此联系称为A的一个互惠度。与其它研究不同的是，一般研究结果仅通过点的入度或仅通过点的出度得到，这里我们考虑每个点的互惠度和非互惠度，则局部信息被强化，图的随机方差很小。因此，复杂化的自组织的世界贸易网络被证明编码到相对简单和局部动力结构中，网络的局部动力结构分别具体到每个顶点的互惠度和非互惠度上。

2.主要内容

在这个部分我们简明地概括下我们运用的随机化方法，同时具体解释如何运用该法研究世界贸易网络。

2.1随机化方法

我们的方法基于图的最大熵的最大可几估计，引入一个真实网络的一组无参数模型，运用这些模型分析拓扑性质[5]。无参数模型对变量之间具体的函数关系没有要求，解释变量和被解释变量的分布也很少限制，回归的终极目的也不是为了求一个“好的”参数估计值，而是直接求被解释变量的样本函数值。简单地说，无参数估计实际上是一种特殊的加权平均。

给定的真实网络G*的n个顶点的哈密顿图，即经过图中所有顶点一次且仅一次的回路，该图可以是二元图也可以是权重图，可以是有向的也可以是无向的。定义一个无参数模型，产生G*的一组随机化变量，即指定每个图G指定一个概率P（G），即建立一个方法去分配概率。

自组织系统是耗散的，熵在约束条件：

下取极值。

图G*待考察的拓扑性质的集合{Cα}赋值为{Cα（G*）}。首先由约束条件为概率是正规化的，我们取，这里限制条件的线性组合系数{θα}是自由参数，充当控制期望{}）的拉格朗日乘子，而分母为配分函数。熵取极值等价为对数函数求极值得到拉格朗日乘子{θα } [8]。取定拉格朗日乘子参数值θ*满足，得：

即限制条件的平均等于真实网络的一观察值Cα（G*）。类似的，运用上述拉格朗日乘子可以得到任意拓扑性质X的平均值*

。

本文采用邻接矩阵的表示图中信息，即是用一维数组存储图中顶点的信息假设图G=（V，θ）有n个确定的顶点，即V={v1，v2，…，vn}，用矩阵表示图中各顶点之间的邻接关系，为一个n×n的矩阵，矩阵的元素为gij表示边（vi，vj）上的入度。一般期望值的计算很麻烦，通常采用线性近似方法求期望。然而，本文我们取特定的拓扑性质X，其期望可以被精确计算。采用通常的定义得到X的方差：

这里是邻接矩阵元素和的协方差。该公式可以通过考虑二阶矩概率的因式分解，具体如下，这里将所有顶点（i，j）（i

通过计算观察值X*与平均值*的标准方差为多少。与期望值一致的量可以通过附加条件{Cα}解释，与期望值差别很大的量无法通过附加条件{Cα}解释。其他方法得到这个结果，需要许多真实网络的离散变量，然后度量每个变量，最后计算X的均值和方差[6]。整个过程很花费时间，特别是对于复杂拓扑性质。相反，我们的方法可以在短时间内得到 *量，以便度量信号网络G*的X*。

2.2有向构型模型

如果网络是二元图，即集合中的每个图是特定到邻接矩阵A的。限制条件最简单（局部的）选择是有度向量的度序列。有向网络是本文的重点研究，这里有两个度序列，观测到的入度序列kin（A*），这里，观测到的外度序列kout（A*），这里。这是一个无参数模型，这里称之为有向构型模型。

给定一个真实的二元有向网络A*，其入度和出度序列分别为kin（A*）和kout（A*），按上面提到的方法具体表述如下。

配分函数

图的概率为

取，，

对数函数

取最大值

最大值对应点（x*，y*）可以通过解方程

得到。

aij的期望为，aij的方差为

。

不同的顶点是独立的随机向量，因为该模型只涉及单向贸易，他们的期望值容易计算。

考虑，Nm的方差为

。

2.3互惠构型模型

有向构型模型运用到世界贸易网络，显示出许多拓扑性质（如度-度联系和有向的集群系数）都与期望一致。这说明度序列kin和kout含有的信息极其丰富，他们可以重现完整拓扑的许多性质。不过，据证实世界贸易网络的互惠度是极其不平凡的[10]。这意味着互惠关系的发生比其他模型（如有向模型，将两个互惠关系i→j和j→i作为两个独立关系考虑）预期的频繁。互惠和其他高阶模式一样不能由有向构型模型得到，这是因为在有向构型模型中研究拓扑性质，忽视了互惠的作用。例如反映网络集群程度的集群系数，定义为网络的平均度与网络规模之比C=/N，是否引入互惠度直接影响到集群系数的值，因为两种方法分子与分母都不同。接下来，我们研究三个顶点子图，引入另一个无参数模型，该模型考虑每个顶点的互惠联系。此无参数模型叫互惠构型模型，定义三个有向度序列k→（A*），其中（非互惠出度）；k←（A*），其中（非互惠入度）；k?（A*），其中（互惠度）附到网络集群上，这些网络有与观测构型有相同的顶点数目。平均上述提到的有向度序列。

给定一个二元有向网络A*，其方向度序列有k→（A*），k←（A*），k?（A*），其中

，，

随机过程为下面方式

配分函数可以如中计算

图的概率为

取，，

对数函数

取最大值。

最大值对应点（x*，y*）可以通过解方程

得到。

的期望为，的方差为

。考虑两个不同的点可以看作独立的随机向量，他们的期望值可以轻易计算出。

由，

及

Nm的方差为

3.讨论

世界贸易网络是个非常有意思的自组织系统，无参数模型可以用以探测其拓扑的重要性质。有向构型模型考虑了各国进口和出口的贸易数，得出许多拓扑性质，不过也有些性质在该模型中体现不出来，而互惠构型模型由于考虑成对考虑两国相互贸易，可以提供网络的更多性质。此外，如果以传统的参数函数模型，首先根据经济理论和样本数据设定模型具体的函数关系 （如线性＼对数线性等），再利用样本数据估计相关参数并检验所设定的关系[5]。实际上，参数函数模型最关键的技术是如何求参数估计值（方法、效果检验）该做法耗时耗力。我们的做法对变量之间具体的函数关系没有要求，解释变量和被解释变量的分布也很少限制，回归的终极目的也不是为了求一个“好的”参数估计值，而是直接求被解释变量的样本函数值，此做法对研究界贸易网络是很有效的。因此，以互惠构型优化有向构型模型是很必要的，运用我们的方法将求解世界贸易网络解析概率向前推进一步是可能的。由此提出一些重要问题，之前没有用到互惠构型所得的研究，用互惠构型会有什么结果；那些用有向构型模型解释不了的现象可以用互惠构型模型解释吗？我们将在今后的研究工作涉及这些。

参考文献：

[1]曾邦哲.自组织系统结构理论[J].转基因动物通讯，1996，Vol.3.No.8-10.

[2]Garlaschelli， D.Di Matteo， T.Aste T.Caldarelli， G.Loffredo， M.I.： Interplay between topology and dynamics in the World Trade Web. Eur. Phys. J. B 57 （2007） 159-164.

[3]Squartini，T.Garlaschelli，D.：Analytical maximum-likelihood method to detect patterns in real networks. New J. Phys. 13 （2011） 083001.

[4]王肇均，程淑佳.基于复杂网络理论的中美原油进口空间格局比较[J].地理科学，2010，30（5）：667～671.

[5]Park， J.Newman， M.E.J.： Statistical mechanics of networks. Phys. Rev. E 70（2004） 066117.

基金项目：

江西科技学院概率统计精品课程项目（kc1011）。

作者简介：

张露萍（1982-），女，硕士，讲师，主要从事基础数学方向的研究。