考研数学中分段概率密度函数难点分析

李国栋 尚海涛

【摘 要】考研数学中概率论与数理统计部分对于要求的概率密度是分段函数，找函数的分段点是一个难点，本文针对这一问题，结合考研真题给出了找分段点的方法以及求概率密度函数的步骤。

【关键词】考研数学；概率密度；分段点

考研数学中概率论与数理统计部分关于求随机变量概率密度函数的问题出现的频率较高，求概率密度函数一般的方法是先求随机变量的分布函数，再对分布函数求导得到概率密度函数，而对于要求的概率密度函数为分段函数时，求分布函数就必需找出分段点，而分段点的确定正是很多考生的难点，因此本文结合考研数学三的真题对求分段概率密度的问题进行分析希望能给广大考生提供参考。

1.求一维随机变量概率密度函数问题

在考研中求一维随机变量的概率密度函数主要是考察求随机变量函数的概率密度函数。当为严格单调函数时，可以直接利用文献[1]第51页的定理来计算，而当不是单调函数时，就通过先求分布函数，再对分布函数求导得到概率密度。

例1：（06年）设随机变量的概率密度为：

求的概率密度函数

分析：在定义域内不是的单调函数，不能直接用定理计算，因此采用先求分布函数的方法来求。因为随机变量的概率密度函数为分段函数，因而的概率密度也应该是分段函数，那么关键问题就是找出随机变量的概率密度的分段点。

找分段点的方法：

（1）找出随机变量概率密度函数的分段点从而确定的可能分段点，如例1中概率密度函数的分段点为-1、0、2，从而的可能分段点为1、0、4。

（2）找出随机变量函数在随机变量概率密度的非零区间的最小值和最大值，如例1中随机变量概率密度的非零区间为，而在的最小值最大值分别为0和4。

（3）由（1）和（2）得到随机变量概率密度函数的可能分段点为：1、0、4、0、4，综合得的概率密度的可能分段点为0，1，4。

随机变量的分段点找到后，只要对各个区间段分别求出分布函数，再对分布函数求导从而得到的概率密度。

如例1：解：（1）当时，

（2）当时，，

（3）当时，

（4）当时，

由（1）-（4）整理得随机变量的分布函数

对的分布函数求导，得的概率密度函数

2. 求二维随机变量概率密度函数的问题

考研当中求多维随机变量的概率密度一般是二维的，二维随机变量求概率密度函数的问题主要有两种类型，一种是求条件概率密度函数，一种是求两个随机变量函数关系的概率密度函数。

2.1求条件概率密度函数

例2（09年）.设二维随机变量的概率密度为

求条件概率密度

分析：条件概率密度有具体的计算公式来求，难点在于变量的取值上下限。

解：由，因此先求

（1）是的概率密度，它是通过对联合概率密度函数对求积分得到，因此要先确定的取值情况，再确定的积分上下限范围。

当时，；当时，为非零，，即得：

（2）是在确定的条件下的概率密度，因此概率密度的定义域为的范围，由于，因此的范围需要根据和的定义域共同确定。

由于，所以不能为零，所以

当时，因而不存在

当时，

注：在求确定的条件下的概率密度函数时，要确定的取值范围，而求出来的的范围很可能是与有关的，有考生可能不太理解，这是因为是在确定的条件下，可以把看作确定的数。

2.2求两个随机变量函数关系的概率密度函数

求两个随机变量函数关系的概率密度函数有两种类型，一种是两个随机变量都是连续型随机变量，一种是两个随机变量一个是连续型的一个是离散型的。

2.2.1两个随机变量都是连续型的

例3（07年）.设二维随机变量的联合概率密度为

求的概率密度函数

分析：此题有两种解法，一种方法就是用卷积公式；一种是用求概率密度函数的一般方法即先求的分布函数，再对分布函数求导，而求分布函数主要是计算高等数学中二重积分，在确定积分区域时，注意结合图形来确定，些题解法略参考文献[2]。

2.2.2两个随机变量一个是连续型的一个是离散型的

例4（08年）.设随机变量相互独立，的概率分布为，的概率密度为，求的概率密度函数

分析：本题也是二维求概率密度的问题，只是这两个随机变量一个离散一个连续，它们的联合概率密度难以表示出来，可以通过全概率公式把离散型随机变量消除，从而转化为一维的情形。求这种类型的概率密度函数采用求概率密度的一般方法，先求分布函数。

解：由于是离散型的，是连续型的，因此通过全概率公式消去离散型随机变量。

代入数值，得

（*）

从而的分布函数转化为了的取值概率的问题，而的概率密度已知，因此需要讨论的取值范围根据的概率密度求出（*）式右边的三个概率，从而得到的概率密度。那么关键就在于怎么对的取值进行划分，使得这三个概率能够计算出来。由于是关于随机变量的取值概率的问题，因此需要从的概率密度函数出发。

（1）找随机变量的概率密度函数的分段点：

a.先找出的概率密度函数的分段点：0，1

b.找出的概率密度的可能分段点：；；由这六个等式可得的可能取值为，即为可能分段点。

（2）根据分段点分别求解随机变量的分布函数

a.当时，有，则（*）式右边的三项都为0，即

b.当时，有则（*）式为

c. 当时，有，则*式为

d.当时，有，则（*）式为

e.当时，有，则（*）式为

由a-e可得：，

从而得

注：此题最后通过计算发现，，的分布函数表达式是一样的，因此，的分布函数可以用一个式子来表示.但是在计算过程中一定还是要按上述介绍的分段方法来计算，因为如果直接用计算时，在计算时，由于的取值范围过大，跨越了随机变量的概率密度函数的多个区间段从而无法计算这个概率。因此在找分段点的过程中其实就是确保分别只落在随机变量的概率密度函数分段区间中的某一个区间中，从而计算各个概率。

3.小结

通过对一维和二维求分段的概率密度函数问题的讨论，我们知道这类问题的关键在于找出所求概率密度函数的分段点。对于一维的主要是根据已知概率密度函数的分段点和非零区域的最大最小值来确定分段点；二维当中对于一个是离散型一个是连续型的随机变量，先通过全概率公式化为一维连续型随机变量取值的情形，再通过连续型随机变量的概率密度函数的分段点，找出所求随机变量的概率密度所有可能分段点，目的就是使得在这些区间内分布函数都能够唯一的求解出来，如果求出所有的区间段的分布函数后有相同的情形，再合并。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]刘西垣，李永乐，袁荫棠.北大燕园·2013年李永乐·李正元考研数学3：数学历年试题解析[M].国家行政学院出版社，2012.

基金项目：

江西科技学院概率统计精品课程项目（kc1011）。

作者简介：

李国栋（1986-）男，湖南浏阳人，硕士，助教，主要从事金融数学的研究。