逻辑力量之源
——论逻辑后承概念

○朱建平

(苏州大学政治与公共管理学院，江苏 苏州215123)

逻辑后承(logical consequence)又称逻辑推论。是逻辑的一个核心概念，首先，作为一种标准，一个系统是否是逻辑系统其主要的判定标准是它的逻辑后承概念是否有效(如在这种意义上一阶逻辑是有效的，而二阶逻辑是非有效的)。其次，不同的逻辑系统往往有不同的后承理论(如相干逻辑、次结构逻辑、动态逻辑和模态逻辑就有与经典逻辑不同的后承概念)。同时，作为一个前理论的概念，逻辑后承也是每一个有推论能力的人实际拥有的概念。逻辑后承涉及的主要问题是:什么是逻辑后承?逻辑后承具有何种性质?一给定句子是另一给定句子(集)的逻辑后承应当满足的条件是什么?前理论的和理论化的后承概念之间是一种什么样的联系?理论化的后承概念的哲学意义是什么，他们之间是什么关系?怎样才算是一个成功的后承概念的定义?同时，逻辑后承还与一系列重要而复杂的问题联系在一起，例如关于形式语言和自然语言之间的关系问题，关于逻辑形式的问题，关于逻辑词项和非逻辑词项的问题，以及关于一般的认识论和形而上学的问题。

虽然自上世纪初以来，逻辑科学已经有了迅猛的发展并且取得了巨大的成功，但是我们对逻辑后承这一基本概念的理解依然是较为贫乏的，我们对这一概念的直觉经常是不完全的，甚至是相互冲突的。对逻辑后承的数学刻画存在诸多认识上的误区，对后承概念的数学模型的科学抽象以及与前理论的后承概念的关系难以作出系统而客观的理解。本文试图探讨上述问题，并给出相应的结论。

一 逻辑后承的前理论概念

什么是逻辑后承?一给定的命题或句子Ф是另一命题或句子集Γ的逻辑后承又称之为г蕴含Ф，或者Ф从г中推出，或者Ф是г的后承，或者〈Ф，г〉是一有效对。如果一给定的Ф是空集的逻辑后承，我们说Ф是逻辑的真，或者Ф是重言式，或者Ф有效。逻辑后承关系是一种偏序关系，即它是自返的、反对称的和传递的。

自亚里士多德以来，逻辑后承就一直是逻辑的一个核心概念。近代以来，若干有影响的逻辑学家和哲学家开始将注意力转向这些概念，他们包括莱布尼茨，波尔扎诺［1］，布尔［2］，施罗德［3］ 534-538，弗雷格［4］，希尔伯特［4］ 842-850，罗素［5］。更新近的代表人物是哥德尔［6］，邱奇［7］和塔斯基［8］ 417-429。

亚里士多德在《前分析篇》中第一次结合三段论给出了逻辑后承的定义:

“三段论是一种论说，在这种论说中有些东西已被陈述了，而有些不是已被陈述的东西，可以按照必然性从那些已被陈述的东西中推论出来。”［9］ 72

亚里士多德的定义和现代逻辑学的后承理论一致吗?亚里士多德认为只有在Ф不同于г中的任何一个命题时，一给定的命题Ф才是一命题集合г的逻辑后承。现代逻辑拒绝了这一点，当Ф是г的一个元素时，允许Ф不足道地从г中推出。但是这并不是问题的实质之所在。除弗雷格等少数逻辑学家之外，绝大多数的现代后承概念甚至允许前提为假的逻辑后承的例子。例如，从“所有的人是四条腿的”和“苏格拉底是人”，能推出“苏格拉底是四条腿的”的有效结论。

亚里士多德使用了“必然性”这一短语，从而将模态元素引入到定义之中。他对上述引文的个别语词的注释似乎表明，在一个有效论证中只靠前提就能保证结论，或者说前提是结论的充分条件。因而亚里士多德的定义可看做是一模态定义:

(1)Ф是г的逻辑后承，如果不可能г的元素为真而Ф为假(亚里士多德)。

遵循当代可能世界意译模态概念的作法，论题(1)可表述为一形而上学的定义:

(2)Ф是г的逻辑后承，如果在г的每一元素为真的可能世界中Ф也为真。

按照(1)和(2)，“比尔比乔重”能够推出“乔比比尔轻”。因为不可能“乔比比尔轻”而不是“比尔比乔重”。的确，“比尔比乔重”的每一可能世界也是“乔比比尔轻”的世界。但是，按照当代逻辑的说明，这个结论并不是它的相应前提的逻辑后承。我们能够通过援用逻辑可能性和逻辑必然性的概念而使(1)和(2)概念更接近于当代的概念。“乔比比尔轻”和“比尔不比乔重”，不论在物理上，还是在形而上学上，乃至在分析上都是不可能的。但是这却不是一个逻辑上正确的推理。因为要从前提推出结论，还需补充“比…轻”和“比…重”，这些关系概念是反自返的，并将自返性作为一条公理引入。

为了追求这一策略，我们应清楚地阐述逻辑后承的不同概念。亚里士多德关于三段论的必然性是不需要借助除前提之外的任何东西而得到的说法似乎适宜于这里的目的。在比尔和乔的例子中，为了推出必然性的结论，或者至少是为了理解必然性，我们需要援用某些关于轻重之间的关系的“外在事实”。另一方面，我们应当看到恰好没有这样一个可能世界，在这个世界中“比尔比乔重”而并非“乔比比尔轻”。“乔比比尔轻”是“比尔比乔重”的一部分。为了充分地理解模型论和演绎后承的概念，我们必须补充模态概念。

我们还可以从认识论的角度处理逻辑后承。如上所述，逻辑被看做是正确推理的研究。但实际上人们普遍关心的是从前提推出结论。特别是，如果我们相信前提，我们必须相信结论，否则我们就陷入矛盾。由此我们又有一个关于认知的后承定义:

(3)存在着一个从Ф到г的演绎，这一演绎是通过一个合法的，无间隙(自明)的推理链来实现的［3］。

(4)断言г的每一元素为真而Ф为假是不合理(荒谬)的。

这一定义与亚里士多德三段论的定义在许多方面是相似的。的确，在将合理或者非合理归之于我们的论题时，我们必须认为他们能够理解在他们的论证中词项的意义。所以，以上定义似乎以某种方式联系到后面的语义学定义。

不合理的结果是什么呢?由矛盾导致的痛苦又是什么呢?我们可以理解为当一个人肯定一有效论证的前提而否定它的结论，我们便可断定他说的话肯定不是真的。这里提出的模态概念类似于在(1)和(2)中的情况。但人们相信由矛盾带来的痛苦远大于此。指责不仅仅是矛盾制造者所说的事情是不可能的，也不是由于犯了一个事实错误而被人责备，而是他违反了思维必须遵守的原则，因而这里的逻辑后承是一个规范性概念，他涉及到推理人的认知责任。从这种意义上讲，逻辑是人的一种思维承诺，当他承认一个有效论证的前提而否认结论时他是在违反承诺。

到19世纪，哲学家们主要关心的是不使用康德的直觉而说明数学的必然性。在这方面最成功的一条路线来自于“语义学传统”，这条传统由波尔扎诺开始，经由弗雷格和维特根斯坦，最后在维也纳学派那里达到高潮。其思想是数学的必然性在于数学语言的使用，或者在于数学概念的意义。我们可以使用语义学纲领阐述逻辑后承的概念:

(5)Ф是г的逻辑后承，如果Ф在г的每一元素成立的语言的每一解释中成立(希尔伯特［4］，塔斯基［9］)。

(6)Г的元素的真保证了Ф的真，这种保证是建立在词项的意义的基础上的。

(7)Г的元素的真保证了Ф的真，这种保证是建立在“逻辑术语”的特定词汇集的意义的基础上的(塔斯基［9］)。

(8)Ф是г的逻辑后承，如果没有一种统一的非逻辑词项的替代，使得依据该代替г的每一元素为Ф为假(塔斯基［9］)。

逻辑后承也是一个形式的问题。一个论证是有效的当且仅当每一具有同样形式的论证是有效的。亚里士多德并没有清楚地说有效性是一个形式问题，但是，他的逻辑假定了这一点。在给出一个三段论时他往往只列出它的形式，而不关心它的内容。特别是当亚里士多德要说明一个给定的结论不能从一组给定的前提推出时，他通常给出一个具有同样形式的真前提和假结论的论证。这一作法假定了如果一个论证是有效的，那么每一个具有同样形式的论证是有效的。进而我们有一个用逻辑形式定义后承概念的例子:

(9)Г的元素的真保证了Ф的真，这种保证是建立在句子(或命题)的形式的基础上的。

我们应当如何刻画逻辑形式呢?一种形式是逻辑的当且仅当除了模式字母之外仅有的词项是逻辑词项。我们又是如何认定一词项是逻辑词项的呢?在此我们有三个选择。第一种选择是关注某些传统的逻辑目标，以此来寻找一个逻辑词项的原则性定义。这包括先验知识、分析性、形式性和论题中立性。第二个被逻辑教科书认可的选择是提供一系列的逻辑词项。典型的逻辑词项包括真值函项连接词(“并非”，“并且”，“或者”，“如果…那么…”)，量词(“有些”，“所有”，变元和等同符号)。第三种选择是遵循波尔查诺和塔斯基的作法，即形成一个相对的逻辑形式和逻辑后承的概念。也就是说人们相对于一给定的逻辑词项的选择来定义论证有某种形式。同样一个论证可能相对于一套逻辑词汇是有效的，而相对于另一套逻辑词汇可能是非有效的。一般地说人们接受第二种选择。

毫无疑问，这些前理论的概念是相互联系的。例如，依据模态性的可能世界语义学(2)可以被看做是对(1)的说明。按照解释如何联系到“可能性”的方式(5)可能提供了对(2)甚至是对(1)的说明。如果一句子或者命题的“逻辑术语”决定了那句子或命题的逻辑形式，人们也可能认为(7)或者(8)与(9)有联系。然而，至少人们可以说着其中的某些联系是有争议的，有些刻画与另一些是不一致的。

二 逻辑后承的演绎系统和模型论概念

上述(1)至(9)是逻辑后承的前理论(直觉)概念，所处理的是自然语言中的句子，或者被这些句子所表达的命题之间的关系。现代逻辑的后承概念处理的是在一形式语言系统L中的良构公式之间的关系。现代逻辑的发展，尤其是希尔伯特纲领和哥德尔不完全性定理的出现，以及塔斯基里程碑式的研究成果，催生出以模型论和证明论为代表的现代意义的逻辑后承概念。它们是普通的非形式的后承定义的自然发展。以下以最简的方式给出证明论和模型论的后承定义。

我们用小写希腊字母表示形式语言的相应的表达式，用大写希腊文字母表示相应的自然语言表达式(如命题等)。令γ是一公式的集合，φ是形式语言中的一公式。第一个概念涉及到一演绎系统D。最简单的演绎系统由公理和推理规则组成。在一形式语言中的一个论证＜γ，φ＞是演绎有效的(在D中)，如果存在着一个以φ为结束的公式序列，使得序列的每一元素或者是γ的一个元素或者是D的一条公理，或者是从在该序列中被D中的推理规则在先推出的公式推出的。自然演绎系统和矢列演算的情况虽略微复杂，但其基本精神是一致的。在每种情况下，存在着一个演绎有效性的严格概念。如果＜γ，φ＞在一系统D中是演绎有效的，记为γ├Dφ，或者简单记为γ├φ

另一种后承概念启用了形式语言的模型域或者解释的概念。通常，一模型是一结构M=＜d，I＞，其中d是M的域的集合，I是指派外延到非逻辑词项中去的函项。例如，如果c是一常项，那么Ic是论域d中的一元素，如果R是一二位谓词，那么IR是关于d的有序对的集合。进而，人们定义解释M和公式φ之间的满足关系。解释M满足φ，记为M╞φ，如果在解释M之下φ是真的。最后，人们将φ是γ的模型论后承定义为，如果每一满足γ的元素的解释也满足φ的解释。换一种说法就是，φ是γ的模型论后承，如果没有一种解释，使得该解释满足每一γ的元素而不满足φ的元素。在这种情况下，我们记为论证＜γ，φ＞是模型论有效的，或者γ╞φ。

可以看出，演绎系统和模型论的后承都是按照形式语言在一给定的形式系统中被定义的。其次，演绎系统和模型论后承概念共同阐明了系统的元逻辑性质。系统是可靠的如果每一个演绎有效的论证也是模型论上有效的，系统是完全的如果每一模型论的有效论证也是演绎有效的。就二者的差别来看，后承的演绎概念是相对于演绎系统的，而后承的模型论概念是相对于集合论背景的。其次，这两大逻辑分支在定义后承时所使用的概念彼此之间是不同的，如演绎系统的关键概念是“推演”(derive)，而模型论的关键概念是“可能解释”(possible interpretation)。它们各自与正确推理的这一概念的联系也是十分不同的，例如，前者是纯语法的，是系统内的，是逻辑形式的，因而在解释自然语言中的正确推理时是从形式角度加以评判的。而后者涉及到解释域和真假等语义学概念，因而在解释自然语言的正确推理时是从保真的角度加以评判的。

进一步，我们可以问它们中的哪一个是主要的，哪一个是次要的?或者也许它们是自主的和独立的，因而存在着两个不同的正确推理、有效思维或者有效推论的概念。至少就一阶逻辑而言，后承的演绎系统(句法学)定义和模型论(语义学)定义是等价的，也就是说它们的演绎能力是相同的。因为完全性告诉我们，模型论的后承也是演绎系统的后承，而可靠性告诉我们，演绎系统的后承也是模型论的后承。但数理逻辑通常的处理是预设模型论的概念是主要的。这样做的理由是，人们可以说一演绎系统对一语义学是可靠的或者完全的(或者非可靠的或者非完全的)，而反之则不然。如果一演绎系统对一给定的语义学不是可靠的，那么仅凭这一点还不能说它不是一个演绎系统。为什么呢?因为在语言的某些解释之下，演绎系统允许我们从真推演出假。但是人们会说这对模型论来说就是一个大的缺陷。任何一种可靠性的反例——任何一种从真前提推演出假结论的解释——都会使得数理逻辑学家断然放弃那种解释方式。

最后，我们要问的是，这样一种后承的数学处理的哲学意义是什么?这就涉及到模型论和演绎系统的严格的后承概念与以上我们概述的直觉的前理论的概念之间的关系。在这方面最紧密的概念联系也许是后承的演绎概念(3)和一标准的演绎系统的演绎有效之间的关系。在“自然演绎”系统中，每一推理规则对应于普通推理的一合法的、无间隙(自明的)推理。所以如果这一系统的形式语言中的论证＜γ，φ＞是有效的，并且如果一个自然语言的论证＜г，Ф＞对应于＜γ，φ＞，那么在(3)的意义上г是Ф的后承。其次，每一系统的推理规则大致对应于普通推理的合法的、无间隙的推理链。以上直觉告诉我们，如果在普通自然语言的无间隙推理中有效的推理，但在演绎系统中没有对应物，那么这一演绎系统一定不是充分的。

显然，形式演绎系统的哲学重要性取决于这种与普通推理的联系，如果(3)和演绎系统没有这种联系，那么演绎系统的技术性成果就只是一些学术演练。但是这些概念一旦和日常语言的后承概念联系起来，这些数学概念便与直觉的前理论的概念变得一致起来。可以说演绎系统中的有效性是普通推理有效性(3)的一个好的数学模型。

再看模型论的后承，满足的技术概念是一种在一解释之下的真关系。关系M╞φ是说如果M的域为全域，如果非逻辑词项按照M来理解，那么φ是真的。所以模型论后承捕捉到了逻辑后承是真值保持的思想。模型论的后承并不完全对应于分析后承的语义学概念(6)。任何指派到非逻辑词项的“意义”与后承概念是毫无关联的，因为这些非逻辑词项从一种解释到另一种解释时的外延是不同的。而逻辑术语是不同的。在模型论语义学的情况下，形式语言的逻辑术语的意义源自于满足定义的递归从句。例如，形式为Φ∨Ψ的公式在一个解释中被满足当且仅当或者Φ在那解释中被满足，或者Ψ在那解释中被满足。这就固定了连接词∨的意义:在每一解释中它的真值函项是相同的。然而，模型论并没有重述形式概念(9)，因为逻辑术语的意义并不是最重要的。模型中的元素才是重要的。从这个角度来看，模型论解释表达了世界的一种可能方式——一个可能世界。假定了世界所是的方式之后，我们就能确定何种公式是真的，何种公式是假的。特别是，不同的话域表达了对世界的不同的可能内容。因而，模型论的后承与(1)，(2)和(7)在某些要素上是一致的。

三 对模型论后承概念的质疑

借助于公理化集合论，逻辑后承的概念在模型论中得到了深入研究和严格处理。人们常常把逻辑后承概念作为一劳永逸地被解决的问题，把它算作是位数不多的哲学成功的故事之一。但是，在很多人看来并非如此?人们提出了以下的质疑:

1．内部质疑

第一，从哲学上看，通过模型论解释逻辑后承的问题因下述事实而变得复杂起来。这个事实就是涉及到前理论刻画的许多概念正经受着严重的攻击。当代最有影响的哲学家之一蒯因［10］就反对在哲学的纲领中使用“意义”这种语义学概念。他认为这样的概念是不精确的，是经不起严格的科学分析的。而在定义(6)和(7)，可能还包括(5)的描述中直接使用了这些词汇。不管怎样，直到现在人们对“意义”的概念并没有完全一致的看法，即便是在那些抵制蒯因怀疑论的人中也是如此。如果后承概念的刻画依赖于这些语义学概念，意义和模型论之间的关系就必须给予单独地处理。同样是受蒯因的影响，在当代哲学中模态概念也屡遭质疑。即便如此，逻辑可能性和逻辑必然性的概念仍被广泛地使接受。许多有影响的作家，包括克里普克［11］，刘易斯［12］，菲尔德［13］，海尔曼［14］，齐亚拉［15］和辛迪卡［16］，在他们的数学哲学和科学哲学以及命题态度、时态逻辑和模态性的著作中对模态概念给予了广泛的使用。然而，这样做的结果并没有形成对模态概念的广泛共识，更谈不上对各种不同的模态概念的适当阐释。更有甚者，许多著作对模型论的后承概念作出了某种实质性的使用。许多处理试图使用各种不同的模型论来解释模态概念，而这些模型论概念又极大地依赖“可能世界”的理论。而反过来，当代关于模态性的大多数研究又都不加批评地预设了逻辑后承的模型论概念的正确性。

第二，从应用上看，人们很少甚至将后承的模型论的模态概念与更加传统的形而上学的、模态的、认识论的和语义学的刻画联系起来。至少模型论的拥护者们并没有这样做。人们可能会问，这种种模型都做了些什么?它们与正确推理，甚至于逻辑究竟是什么关系?它们与(1)和(2)中的模态有什么关系，或者与(5)—(9)中的语义学有什么关系?演绎为何要和认识论联系起来?如何看待演绎的认知问题?人们能够合理地认为(3)—(4)是融贯的吗?

最后，从技术上看模型论的处理固然有潜在的应用，但是它却遭受着组合性语义解释的爆炸性之苦。例如，在命题逻辑的情况下，每n个命题变元的真值有2n个潜在的可能解释，而在谓词逻辑的情况下个体域的出现使得解释问题变得更加复杂。这意味着模型论解释的理论可行性和实际可行性之间有一个巨大的鸿沟。

2．外部质疑

外部的质疑主要表现为模型论的后承概念对自然语言推理关系刻画的正确性和充分性上。首先，为了正确地评价模型论的逻辑后承概念，人们应当知道模型论回答的是何种类型的问题。为此人们从逻辑是正确推理的研究开始。在这种情况下人们关注的是由语言(主要是自然语言)实现的推理。同时，由于推理涉及到推理主体的语言款项的使用或者理解。所以必须考虑像英语、汉语，或者增加了特定的术语以及数学符号的语言。

而与之形成鲜明对比的是，模型论的后承和证明论的后承被严格地限定于形式语言。它们之间的关系严格来说是个数学问题。严格地说，形式语言是一种数学的对象，是关于一固定的特征集的符号串的递归定义的集合。所以，为了看清楚模型论和证明论如何联系到正确推理，人们必须首先考察形式语言和自然语言之间的相关性联系。甚至人们可以询问为什么二者都称之为“语言”。人们稍加思索就会否认英语是那种在逻辑教科书上见到的具有特定句法类型的由递归定义得到的固定字母串的集合。这就引出自然语言和形式语言之间的关系的讨论。虽然以蒙太格，戴维森和赖侃(Lycan)为代表的哲学家主张自然语言的陈述句有深层的逻辑形式，这些形式能够用形式语言的公式展示。但以弗雷格为代表的哲学家持一种相反的观点。他们认为，自然语言无可救药地充满了含糊和歧义，因此它们应当被形式语言所代替。以蒯因为代表的一种观点则认为，为了严肃的科学和形而上学的研究，自然语言应当被管制和清理。我们所需要的是那种经整修后的逻辑结构透明的语言。每个句子的逻辑性质应当是容易“读出”的。蒯因有时使用“标准形式”这一表达式表示陈述句和它们的被整修的对应的句子之间的联系。被整编过的语言在句法和真值条件的清晰表达的严格性方面类似于形式语言。

然而，事实是几乎没有一个哲学家完全使用形式的或者被整修过的语言用于哲学探讨，因为那种语言过于贫乏。同时，几乎所有的数学家和众多逻辑学家偶尔也论及甚至使用形式语言中的公式以避免歧义性和澄清文本的意义。这样一种对待和实践形式语言的态度显然使得人们对模型论后承概念刻画自然语言推理的正确性和充分性充满了怀疑。

四 结论——模型论后承概念对前理论的后承概念具有根本的重要性

以上的争论并没有击垮模型论语义学，因为我们可以把形式语言看作是自然语言的一个附件。这样就转化为关于这一附件和它的初始语言之间的关系。一个语言附件的后承关系能够告诉我们这种语言的正确推理是什么吗?

弗雷格-蒯因的观点在于他们观察到自然语言充满了模糊和歧义，因而是毫无希望的。作为一种回答，人们指出表达式的语境可以解决歧义性，有许多模糊词项的严格语义学理论。但是，几乎所有的这些理论都预设了模型论的后承概念。事实上，模型论是这一研究的未加分析的起点。所以，即便这种或那种模糊形式语义学是正确的，问题依然没有变化。

正确的理解是，形式语言是自然语言的数学模型，就像图灵机是计算的模型一样。尽管形式语言忽略或者简化了自然语言的某些特征，但它却揭示或者理想化了自然语言的某些特征。从这种角度看，形式语言中的公式就是自然语言中的命题或者句子的逻辑形式的数学模型。形式语言中的后承关系是更好地理解正确推理，甚至是改进这种推理的模型。因此我们应当关注影响正确推理的因素是什么。我们只需确定哪些形式语言、演绎系统和模型论语义学的特征对应于正确推理的特征，而哪些是无关紧要的。通常情况下，形式语言有变元、连接词、量词，括弧、各种类型的模式符号以及形成规则组成。显然，其中的变元、连接词和量词是自然语言推理的必要的成分，因而是必须被表达和理想化的，它们的演绎和语义行为是各种不同形式的后承概念的核心。

演绎系统是实际或可能的推理链条的数学模型。理想地说，一个推理链条是正确的当且仅当它被一给定的演绎系统的演绎所表达，而其中的推理规则代表推理链上的初始或者极小的推理步骤。从这一观点来看，一演绎系统的目的是捕捉到逻辑后承的认识论概念，如定义(3)和(4)所表达的。总之，我们感兴趣的是演绎概念的最终产品，即任何有关于自然语言真实推理的因素。

最后，我们在模型论中作出的模型是什么?它们表达的是什么?或者说它们模仿的是什么?人们可能会说模型并不模化任何东西，它只是一个逻辑系统的人工制品罢了。模型论语义学仅有的价值是它的后承关系与演绎后承关系相匹配。如果存在着完全性或者可靠性结果，通过研究模型，理论学家可以确定什么是可演绎的，什么不是可演绎的。这样一种模型论的观点与体现于(3)中的后承的演绎的认识论定义是一致的。事实上，绝大多数的哲学家和逻辑学家认为后承的模型论概念是基本的、重要的。一个演绎系统必须回答模型论所提出的基本问题。一阶逻辑表明，它的演绎系统相对于模型论是可靠的或者是完全的，如果它们之间的关系失配(就像二阶逻辑的情况)，这就是一个有瑕疵的演绎系统。逻辑学家普遍认为有效可靠的二阶逻辑系统没有足够的公理或者推理规则(演绎出语义上有效的论证)，而不是语义学上没有足够的模型(以反驳每一个演绎非有效的论证)。可以合理地说，后承模型对应于正确的推理，模型论中的要素是自然语言正确推理必须具备的成分。一些不同的非形式的后承概念的确也有某些作用，它们联系到我们列出的一揽子的定义之中。这些概念和认识论的概念之间存在着丰富的相互作用。同样，如前所述，模型和形式语言的公式之间的满足关系对应于自然语言的陈述句的真假关系，它捕捉到了逻辑是真值保持的直觉。从这一立场衍生出两种观点。一种观点认为模型论代表的是一种可能性，或者可能世界。在这种情况下，模型论的后承是后承的模态概念的模型，如我们的定义(1)和(2)所表示的。另一种观点认为模型是一种语言的解释，其中的后承概念对应于(5)、(7)和(9)中的某些语义学概念。前者称之为“表达的语义学”，后者称之为“解释的语义学”。解释的语义学逻辑词汇和非逻辑词汇的区别是核心。而在表达的语义学中逻辑与非逻辑的界限似乎并不重要。

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