稀疏图像重构非凸Lp问题的分裂方法

朱永贵，刘 平，丛 佳

(中国传媒大学理学院，北京100024)

Candes等［1］和Donoho［2］于2006年提出了压缩感知(Compressed Sensing)理论。根据压缩感知理论，如果稀疏信号或图像的测量数据满足不相关性［3］，那么稀疏信号或图像可以从非常有限的抽样数据中重构出来，而这些测量数据被称作原始稀疏信号或图像的压缩。对于二维图像可以按一列一列地排列形成一个向量信号。用u表示由图像形成的长度为N的向量信号。如果A表示一个M×N(M≤N)的观测矩阵，那么在压缩感知中b=Au是信号u的观测数据即压缩。原始信号u的重构可以通过求解最优化问题(1)实现。式中:代表‖u‖0中不等于零的分量个数。求解问题(1)是一个NP难问题［4］，因此该问题的求解依赖于计算机进行数值计算难以实现。Trzasko等［5］于2009年提出了L0拟范数的同伦逼近压缩感知重构方法，这一方法能够从抽样率非常低的频域数据中精确重构出MR原始图像。由于该方法涉及连续性求解过程，其计算时间很长，并且该方法目前仅能用于特殊类型的MR图像重构上，而不能用于其它类型如自然图像、视频图像上，因此该方法不具有普遍性。尽管L0问题是NP难问题，但Candes等［6］证明了在一定条件下，问题(1)可以转化为如下L1范数最小化问题

L1最小化问题是一个凸最优化问题，利用最优化方法可以求解。目前求解最优化问题(2)的主要流行方法有内点法［7］、不动点连续性方法FPC［8－9］、Bregman迭代方法［10］、分裂 Bregman迭代法［11］、偏微分方程方法［12］和共轭梯度下降法［13］。最近我们也提出了求解问题(2)的凸分裂算法［14］。

当0＜p＜1时，用于压缩感知求解的最优化问题变为如下非凸最优化问题