不可逆矩形循环的功率和效率特性

刘长鑫，陈林根，戈延林，孙丰瑞

（海军工程大学动力工程学院，武汉 430033）

0 引言

自从有限时间热力学［1－3］被用于实际热机的性能分析和优化研究以来，目前已经取得了一系列成果。例如Mozurkewich等［4］和Hoffman等［5］用最优控制理论优化Otto循环和Diesel循环的活塞运动规律，Aizenbud等［6］和陈林根等［7］将活塞式加热气缸中活塞最优运动规律用到了内燃机循环分析中，Orlov等［8］导出了内燃机的功率效率极限，Angulo-Brown等［9］和陈林根等［10］建立了一类考虑有限时间特性和摩擦损失的Otto循环和Diesel循环模型，Klein［11］考虑了传热对Otto循环和Diesel循环特性的影响，陈林根等［12－13］导出了存在传热损失时Diesel循环和Otto循环的功率效率特性，郑彤等［14］导出了存在传热和摩擦损失时Dual循环的功率效率特性，Qin等［15］给出了一类不可逆往复式热机普适的功率效率特性，Al-Hinti等［16］研究了在不同传热模型中Diesel循环的性能，刘畅等［17］建立了考虑存在传热损失的内可逆工质恒比热Meletis-Georgiou（MG）循环模型并进行了分析和优化。特别是Ferreira Da Silva［18］提出了一种由定容吸热、定压吸热、定容放热和定压放热4个热力过程组成的新型循环（其p-V图呈矩形，故称为矩形循环）；并应用经典热力学理论导出了该循环的输出功率和效率公式，当存在传热、摩擦和热漏等损失时，分析矩形循环的有限时间热力学特性可指导实际应用。

本文将在前人工作的基础上建立具有有限时间特性、存在摩擦及传热损失的空气标准矩形循环模型，并研究其功率和效率特性。

1 循环模型和性能分析

图1为空气标准矩形循环模型图，图1（a）为压力（p）与体积（V）关系图，其中1→2为定容吸热过程，2→3为定压吸热过程，3→4为定容放热过程，4→1为定压放热过程。图1（b）为温度（T）与熵（S）关系图。

图1 矩形循环模型

设吸热过程和放热过程的温度分别按等速率变化：

式中：T为温度；t为时间；K1和K2为常数。

对式（1）积分有：

式中：t1和t2分别为加热和冷却时间。

因此，循环周期τ为：

对于整个循环，输出功为：

式中：CV和Cp分别为等容热容和等压热容，即等容和等压比热容与质量流量之积。

因此功率为：

在1→3过程中，工质吸收的热量为：

理想的矩形循环不存在不可逆损失，但对于实际矩形循环，工质和气缸间的不可逆传热损失和活塞摩擦损失不能忽略。

把诸种因素对燃烧的影响用燃烧过程的当量放热量α表示；将压缩、燃烧及其后的膨胀过程中气缸与外界的热交换全部集中于燃烧过程，用－β（T3＋T1）表示。则在燃烧过程中传给工质的热量可写为［8，11－13］：

式中：α为膨胀过程中当量放热量，常数；β为传热损失系数，常数。

对空气标准矩形循环过程1→2，2→3，3→4和4→1，有：

式中：p为压力；V为体积。

定义循环膨胀比rl：

则由式（5）得：

由式（3）、式（4）和式（6）可得：

将式（6）和式（7）代入式（2）中，得出功率为：

活塞运动存在摩擦损失，按照Angulo-Brown等［9］和陈林根等［10］对有限时间特性和摩擦损失的Otto循环和Diesel循环的处理方法，设摩擦力与速度呈线性关系。即：

式中：μ为考虑全部损失的摩擦系数；x为活塞的位移。

因此，损失功率为：

式中：x2为在最小容积处的活塞位置；Δt12为功率冲程消耗的时间。

则循环净功率输出为：

循环的热效率为：

或者：

2 数值算例

算例计算的目的是利用数据分析摩擦损失对矩形循环的功率和效率的影响，以及当量放热量α，传热损失系数β和初始温度T1对矩形循环的功率和效率的影响。

由气体摩尔数和摩尔热容，CV＝0.716 5 J／K，Cp＝1.003 1 J／K。由t1＝t2＝τ／2＝16.6 ms（τ＝33.33 ms［4］）和对应的温度值反算出K1＝8.128μs／K，K2＝18.67μs／K。

依文献［4］取x2／Δt12＝0.6m／s，摩擦损失b的取值范围为0～65 W。根据Angulo-Brown［9］和Klein［11］的方法，当量放热量α＝2500～4000kJ／kg，传热损失系数β＝0.3～1.8 kJ／（kg·K）和初始温度T1＝300～400 K。

2.1 摩擦损失的影响

为了分析摩擦损失对矩形循环的功率和效率的影响，摩擦损失b分别取0 W，32.5 W和65.0 W，算例取值见表1。

表1 用于分析摩擦损失影响的取值参数数值

利用表1所列值，结合式（8）可以得到矩形循环的功率与膨胀比关系（图2），结合式（10）得到效率与膨胀比关系（图3）；结合式（9）可以得到功率-效率特性（图4）。

图2 功率－膨胀比关系

图3 效率－膨胀比关系

以摩擦损失b取32.5 W时的图线为例。由图2可知，该算例的最大输出功率为Pmax＝4.117 5 k W，对应的最佳膨胀比为rl，P＝2.120 0；由图3可知，算例的最高效率为ηmax＝0.117 4，其对应的最佳膨胀比为rl，η＝2.020 0。当图2取得最大输出功率时，对应图3的效率为ηP＝0.117 0；当图3取得最高效率时，对应图2的输出功率为Pη＝4.102 6 k W。这些结果也可以从图4中得到印证。

图4 功率－效率特性

图2中功率随膨胀比变化呈类抛物线型，并且增加摩擦损失会导致功率减小；图3中效率随膨胀比变化呈类抛物线型，增加摩擦损失会导致效率降低；但是摩擦损失的变化不改变曲线的形状。由图4可见，功率－效率特性曲线呈回原点的扭叶型，摩擦对功率和效率特性的影响较小。

2.2 传热损失系数、当量放热量和初始温度的影响

为了分析β、α和T1各自对矩形循环功率和效率特性的影响，每一个因素取三个值，见表2。

表2 用于分析α，β，T1影响的取值

图5是传热损失系数对功率－效率特性的影响，图中给出了β取0.3，1.0和1.8 kJ／（kg K）时矩形循环的功率－效率特性。由图可见：对于β不同的取值，矩形循环的最大功率Pmax在5.170 4～3.120 7 k W之间变化，对应的效率ηP为0.146 7～0.088 2；矩形循环的最高效率ηmax在0.147 2～0.088 2之间变化，对应的功率Pη为5.152 6～3.112 4 k W。进一步分析可以得到：最大功率对应的膨胀比rl，P为2.66～1.72；最高效率对应的膨胀比rl，η为2.51～1.66。

图6是当量放热量对功率－效率特性的影响。图中给出了α取2 500，3 250和4 000 kJ／kg时矩形循环的功率－效率特性。由图可见：对于α不同的取值，矩形循环的最大功率Pmax在3.579 6～4.529 6 k W之间变化，对应的效率ηP为0.100 2～0.129 4；矩形循环的最高效率ηmax在0.100 5～0.129 8之间变化，对应的功率Pη为3.568 8～4.512 0 kW。

进一步分析可以得到：最大功率对应的膨胀比rl，P为1.86～2.33；最高效率对应的膨胀比rl，η为1.80～2.21。

图5 β对功率－效率特性的影响

图6 α对功率－效率特性的影响

图7是初始温度对功率－效率特性的影响。图中给出了T1取300，350和400 K矩形循环的功率－效率特性。由图可见：对于T1的不同取值，最大功率Pmax在4.424 9～3.845 4 k W之间变化，对应的效率ηP为0.126 2～0.108 7；矩形循环的最高效率ηmax在0.126 7～0.109 0之间变化，对应的功率Pη为4.408 0～3.830 7 k W。进一步分析可以得到：最大功率对应的膨胀分别比rl，P为2.28～1.98；最高效率对应的膨胀比rl，η为2.16～1.90。

图7 T 1对功率－效率特性的影响

分析结果表明：和摩擦损失b一样，β、α和T1的变化对功率效率特性曲线的形状影响不大，但随着α的增大，b、β和T1的减小，循环能达到的最大功率和最高效率增大。

3 结语

实际热机的有限时间热力学模型是理解和优化热机性能的重要工具。本文建立了考虑有限时间特性、存在摩擦及传热损失时的空气标准矩形循环模型，导出了循环的功率及效率解析式，由数值计算得到了对应于最大功率和最高效率的最佳膨胀比，主要结论有三点。

1）功率及效率随膨胀比的变化曲线呈类抛物线型，功率－效率特性曲线呈回原点的扭叶型；摩擦、传热损失系数、当量放热量和初始温度的变化均不改变关系曲线的形状。

2）摩擦的变化对功率－效率特性的影响较小，当量放热量、传热损失系数和初始温度的变化对功率效率特性影响较大。

3）摩擦的增大会导致功率及效率的下降；当量放热量的增大，摩擦、传热损失系数和初始温度的减小，会使循环的最大功率和最高效率增大。

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