带液体晃动航天器的非线性自适应反馈控制*

顾黄兴 齐瑞云

南京航空航天大学自动化学院，南京 210016

随着航天技术的不断发展，对航天器的性能提出了更高的要求，液体燃料占航天器总重量的比值不断增大，地球同步卫星的燃料接近总质量的40%[1]。当贮箱部分充液时，由于航天器的平动和转动，会使液体燃料不断晃动，对航天器产生显著的干扰力、干扰力矩和冲击压力，使航天器呈现非线性、参数时变等复杂的动力学特性，同时较低的晃动频率容易与航天器的结构振动和姿态控制系统相交耦，从而对航天器的姿态控制和稳定性产生重大影响。如何抑制液体燃料晃动对航天器的影响是一个难点，因而在航天器建模和控制系统的设计中，必须将液体燃料和刚体航天器加以综合考虑。

带液体晃动航天器的姿态控制对航天器变轨、交会对接以及姿态跟踪目标的达成非常重要。目前针对此类问题的姿态控制方法主要有：文献[2]针对带液体晃动航天器设计了自适应极点配置姿态控制器；文献[3]用一种分层滑模控制方法针对带液体晃动航天器设计了姿态控制器；文献[4]针对带液体晃动的月球着陆器提出了一种基于无源性的姿态控制方法；文献[5-8]针对带液体晃动航天器提出了一种基于Lyapunov函数的非线性反馈控制器的设计方法；文献[9]对液体晃动-航天器姿态耦合动力学系统采用极点配置间接自校正控制策略，实现了姿态角的镇定及跟踪；文献[10]针对一类带液体晃动欠驱动航天器设计了非线性反馈控制器；文献[11]提出了一种针对充液航天器姿态的自适应非线性动态逆控制。上述文献提供的各种控制方法，大都是基于液体燃料的质量等相关参数不变来设计控制器，没有考虑到液体燃料的参数可变且难以测量。为此，本文提出了采用自适应控制方法来解决这个问题。

针对有加速度条件下的带有液体燃料晃动的航天器，本文基于Lyapunov函数稳定性分析，在文献[5-8]提出的非线性反馈控制器的基础上，考虑液体燃料参数的不确定性，提出了一种参数自适应非线性反馈控制方法，来抑制航天器的横向以及俯仰运动，同时抑制液体燃料的晃动，使系统渐近稳定。仿真实例验证了该方法的有效性。

1 系统数学模型

本文研究的是零重力条件下，在有轴向加速度时，某固定平面内带单个贮箱的轴对称刚体航天器的动力学和姿态控制，液体燃料使用单个的弹簧-质量块模型来等效，如图1所示。

图1 带液体晃动航天器示意图

建立航天器体坐标系Oxyz和惯性坐标系OXYZ，考虑航天器在X轴、Z轴平面上的运动。vx，vz分别为贮箱中心沿着x轴和z轴的速度分量；贮箱内液体燃料等效为弹簧-质量块，质量为mf，分为2部分：固定质量m0，h0和I0分别为其相对贮箱中心的距离和转动惯量；振动部分的液体质量m1，h1和s分别为其相对贮箱中心的距离和振幅。k1为弹簧弹性系数；航天器姿态角θ为航天器相对于惯性坐标系X轴的角度；航天器质量为m，相对贮箱中心转动惯量为I；末端推力为恒力F，推力角δ为F相对体坐标系x轴的角度；M为作用于质心的转动力矩，M和δ是控制输入；质心到贮箱中心距离为b，推力F作用点到质心距离为d；c为弹簧振子阻尼系数。

由文献[7]可知，带液体晃动航天器动力学方程为

(1)

(2)

M+F(b+d)sinδ

(3)

(4)

从上述方程可以看出，液体燃料与刚体航天器的耦合作用强烈，系统呈现很强的非线性。方程(1)～(3)中包含了刚体航天器和液体燃料之间力和力矩的作用，同时，控制力和力矩又都是直接作用于刚体航天器外部，因此对液体晃动的抑制只能通过内部的耦合作用来实现，使得航天器整体表现为一个欠驱动系统。方程(4)体现了液体晃动的耗散作用，阻尼系数c的存在，使得液体每个周期的晃动都会带来小部分能量的消耗。

在航天器做机动动作时，若推力角度、姿态角变化幅度较小，且液体晃动为小幅晃动时，轴向加速度不会显著变化，因此方程(1)可以近似为：

(5)

令

(6)

(7)

(8)

设计目标是设计一个参数自适应非线性反馈控制器，使航天器完成给定的平面机动动作，即控制航天器的姿态角和横向速度达到预定目标，并同时抑制液体燃料的晃动，使系统渐近稳定。

2 非线性自适应反馈控制器设计

根据前文的分析可知，带液体晃动的航天器系统为固液耦合的复杂非线性系统，传统的基于线性化模型的控制方案很难取得好的控制效果。本文采用基于Lyapunov函数的非线性设计方法，直接对非线性系统设计Lyapunov函数，并据此设计控制器，使系统能得到很好的收敛性能，使用间接自适应控制的方法保证参数估计值的收敛，同时使用参数映射等手段保证参数估计值在合理的取值范围内，最终针对带液体晃动的航天器系统设计了参数自适应非线性反馈控制器。

在上文建立系统模型时，采用弹簧-质量块模型对液体燃料进行建模，而在实际的航天器任务中，由于传感器的精度以及建模时的误差，很难精确测量得到等效模型的各项参数。因此对于此非线性系统，考虑液体燃料的具体参数的不确定性，将方程(8)改写为如下的形式：

(9)

实际的航天器系统中，液体燃料的各项参数必定有界，因此等效模型的各参数也有界，故可对系统模型进一步作如下假设：

假设1：h∈Ω1，而Ω1={h|hmin≤h≤hmax}，即h有上下界；β>0；α∈Ω2，而Ω2={α|0<αmin≤α≤αmax}，即α有上下界，且大于0。

假设2：存在Ωα，使得α>0,∀α∈Ωα。Ωα为R上凸子集，且Ω2⊂Ωα。

假设3：可以适当选择正常量r3,r4，使得μ=r3-r4h2>0，∀h∈Ωh。其中Ωh为R上凸子集，Ω1⊂Ωh；r3,r4为可以选择的Lyapunov函数的系数。

下面先给出控制器以及投影算子，后面证明基于投影算子的自适应律的选取保证了参数估计值的有界性。定义如下的公式：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

定义如下的投影算子[12]：

(15)

δ1,δ2为选定的较小的正数，分别使Ω1⊂Ω1δ⊂Ωh，Ω2⊂Ω2δ⊂Ωα成立，其中Ω1δ={h|hmin-δ1≤h≤hmax+δ1},Ω2δ={α|αmin-δ2≤α≤αmax+δ2}。

下面通过对定理的证明来说明控制器的设计。

定理：给定正常数r1～r7,l1,l2，采用控制律式(10)及(11)和参数自适应律式(12)～(14)，能保证系统在平衡点处渐近稳定。其中，r3，r4满足如下条件：可以选定r3，r4，使得μ=r3-r4h2>0，∀h∈Ωh。

证明：取Lyapunov函数为：

对Lyapunov函数求导可得：

将控制律式(10)和(11)代入，整理后得到：

(17)

由参数自适应律式(13)可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

将式(18)代入式(17)，再由投影算子性质式(19)和(21)，可得

根据投影算子性质式(20)和(22)可知，Lyapunov函数V为正定函数。由LaSalle 不变集定理[1-3]可知，对系统(6)～(8)施加控制律(10)和(11)，以及参数自适应律(12)～(14)时，可以使得系统在平衡点处渐近稳定。

3 仿真

针对本文提出的参数自适应非线性反馈控制方案，本节采用数字仿真来研究其对带液体晃动航天器的控制效果。

表1 航天器及燃料的物理参数[7]

考虑液体燃料参数的可变性，时间t为600s时，参数变动为：m1=20kg，h1=0.12m，k=80N/m，c=3.2N·s/m。

参数映射中各参数为：αmin=0.01，αmax=15，hmin=0.01，hmax=15，δ1=0.001，δ2=0.001，Ωα={α|α≥0.001}，Ωh={h|0.001≤h≤20}。

综合考虑系统的响应速度，调节时间以及输出曲线等因素，一组较合适的控制律及自适应律参数为：r1=1×10-6，r2=100，r3=10，r4=0.02，r5=0.006，r6=5×10-5，r7=5×10-5，l1=4000，l2=2000。其中，l1，l2的取值较大，是为了保证系统的总体收敛速度。r1对仿真结果中各状态量和控制输入的超调量影响较大，因此取值较小。r2,r4同样对系统的收敛性有影响，同时会对仿真曲线的平滑性和上升时间有较大的影响。r5,r6,r7等与r4相关，影响各参数的收敛性。综合考虑以上各种因素，适当的选取各个参数，可以得到较好的仿真结果，如图(2)～(5)所示。

图2 vx,vz的响应曲线

图3 θ,s的响应曲线

图4 参数α,β,h的估计值

图5 控制输入δ,M

从图(2)和(3)中可以看出，航天器的横向速度，姿态角和弹簧振子振幅都能最终达到平衡点，同时系统的轴向加速度基本保持不变，符合上面简化模型时的分析。图(4)给出的各参数的估计值很快的收敛。从图(5)中可看出，航天器的控制输出，即控制力矩和推力角度曲线平滑，参数在合理的范围内。在600s时，液体晃动的参数发生变动，系统仍能最终达到平衡。可以看出，采用本文提出的控制器，系统能够最终达到平衡，同时控制器输出很平滑，没有抖动。

4 总结

针对带液体晃动的航天器，在给定整体系统数学模型的基础上，本文针对系统的非线性性以及液体燃料晃动参数未知且难以精确测量等特点，基于Lyapunov函数稳定性分析，设计了一种参数自适应非线性反馈控制器，按照这种方法设计的控制器可以保证系统最终达到渐近稳定。这种控制方法抑制了航天器的横向及俯仰运动，并且有效抑制了液体的晃动，达到了控制目标。最后给出的仿真实例说明了该方法的有效性和可行性。

参 考 文 献

[1] Sidi M J. Spacecraft Dynamics and Control[M].Cambridge Aerospace Series, Cambridge University Press, 1997.

[2] Shageer H, Tao G. Modeling and Adaptive Control of Spacecraft with Fuel Slosh: Overview and Case Studies[C]. AlAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit, Hiton Head, South Carolina, August 20-23, 2007.

[3] 杜辉,张洪华.一类带液体晃动航天器的姿态控制[J].空间控制技术与应用,2010,36(2):25-30. (DU Hui, ZHANG Honghua. Attitude Control for a Kind of Spacecraft with Fuel Slosh[J]. Aerospace Control and Application, 2010,36(2):25-30.)

[4] 杜辉.基于无源性的带液体晃动月球着陆器的姿态控制[J].空间控制技术与应用,2011,37(1):50-54. (DU Hui. Passivity Based Attitude Control for Lunar Lander with Fuel Sloshing[J]. Aerospace Control and Application,2011,37(1):50-54.)

[5] Cho S, McClamroch N H, Reyhanoglu M. Feedback Control of a Space Vehicle with Unactuated Fuel Slosh Dynamics[C]. AlAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit, Denver, CO, August 14-17, 2000.

[6] Reyhanoglu M. Maneuvering Control Problems for a Spacecraft with Unactuated Fuel Slosh Dynamics[C]. Proceedings of 2003 IEEE Conference on Control Applications, June 23-25, 2003.

[7] Reyhanoglu M, Hervas J R. Nonlinear Control of Space Vehicles with Multi-Mass Fuel Slosh Dynamics[C]. IEEE 5th International Conference on Recent Advances in Space Technologies, Istanbul, Turkiye, 2011.

[8] Reyhanoglu M, Hervas J R. Nonlinear Control of a Spacecraft with Multiple Fuel Slosh Modes[C]. IEEE 50th Conference on Decision and Control and European Control Conference, Orlando, FL, USA, 2011.

[9] 梁琼,岳宝增,于丹.充液航天器目标跟踪自适应控制[J].空间控制技术与应用,2011, 37(1):40-44. (LIANG Qiong, YUE Baozeng, YU Dan. Adaptive Control of Target Tracking for Liquid-Filled Spacecraft[J]. Aerospace Control and Application,2011, 37(1):40-44.)

[10] 于丹,岳宝增.一类带液体晃动欠驱动航天器的反馈控制[C].中国力学大会2011暨钱学森诞辰100周年纪念大会.哈尔滨: 中国力学学会,2011. (YU Dan, YUE Baozeng. Feedback Control of a Kind of Underactuated Spacecraft with Fuel Slosh.[C]. The Chinese Conference on Theoretical and Applied Mechanics 2011 in Memorial of Tsien Hsue-Shen’s 100th Anniversary. Harbin: The Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics,2011.)

[11] 祝乐梅,岳宝增.充液航天器姿态的自适应非线性动态逆控制[J].动力学与控制学报,2011,9(4):321-325. (ZHU Lemei, YUE Baozeng. Adaptive Nonlinear Dynamic Inversion Control for Spacecraft Attitude Filled with Fuel[J]. Journal of Dynamics and Control,2011,9(4):321-325.)

[12] Hassan K K. Adaptive Output Feedback Control of Nonlinear Systems Represented by Input-Output Models[J]. IEEE Transactions on Automatic Control (S0018-9286), 1996, 41(2): 177-188.

[13] Hassan K K.Nonlinear systems[M]. 3ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002.