对素数分布趋势的创新发现

2013-05-17 08:04李君池
新课程学习·中 2013年1期

摘 要:传统的观念认为素数在整个自然数域的分布趋势为:“在自然数数列不断增大中,素数在其分布将越来越稀疏。”然而,在对素数分布趋势的教学研究中发现:将自然数列中的素数按照某一规律重新排队,得到的素数数列却是一个“无穷递增数列”,它丝毫不受“越来越稀疏”的影响。当自然数n趋向于无穷大时,自然数增大2倍,素数也同时增大2倍。将素数数列无穷递增的现象总结为“李君池素数定理”。“李君池素数定理”的“递增”思想彻底改变了“稀疏”这一传统观念的看法。

关键词:素数分布;素数数列;无穷递增;“李君池素数定理”

一、对传统素数分布趋势的思考

在进行素数的教学中,有一个绕不开的话题,就是:素数在自然数中的分布问题。素数在自然数中的分布情况究竟怎样,虽然相对于中学生来说,难度是大了一些。但是,我们一不能遇到难题就绕路而走;二也不能由此而向学生传授错误的内容;三更不能因为是难题而封闭了学生积极开放的思维、思路。我们提倡的方法是:将难题提出来,和学生们共同探讨,有时不一定会有结果,但有时就会有新的发现,甚至有时会有意想不到的收获。本文的内容就是在辅导学生的过程中所得到的结论和结果。这个结论打破了人们传统的思维定势,把人们的思维引向了一个全新的天

地,它对于学生以及数学爱好者在今后的数学学习中、在解某些数论难题中都会有着极大的帮助。

几个世纪以来,人们在翻看“素数表”时,从素数表中看到的是这样一些数据:在1到100中间有25个素数,在1到1000中间有168个素数,在1000到2000中间有135个素数,在2000到3000中间有127个素数,在3000到4000中间有120个素数,在4000到5000中间有119个素数,在5000到10000中间有560个素数……

于是,人们得出的结论是:素数在整个自然数域的分布趋势为:“在自然数数列不断增大中,素数在其分布将越来越稀疏,甚至会出现两相邻素数相隔数十、数百、数千、数万、数亿…个合数数位的各种情况,即存在两相邻素数相隔任意大的各种情况。”长期以来,这种“素数分布越往上越稀少”的观念禁闭了人们的头脑,使得人们在数论研究方面多年来没有大的突破,同时,也由于素数分布“越来越稀”的“现象”,成了“哥猜、孪猜”等素论问题破解道路上的拦路虎,使得“哥猜、孪猜”这一类的素论问题至今没能彻底解决。因此,这一传统的思维必须来个彻底地更新。

素数分布真的是越往上越稀少吗?对于同样是“素数在整个自然数域的分布趋势”问题,如果我们换一种思路来考虑问题,将会得出完全相反的结论。例如,我们将所有的素数集合按照某种规律重新排队,那种“素数分布越来越稀疏”的思维、观念或许就会发生根本性的变化。

二、建一个无穷递增的素数数列

如何建立一个“无穷递增的素数数列”?不同的人有不同的方法,但如何证明自己建立的“数列”,却令人望而却步,例如:对上一节中建立的“无穷递增的素数数列”,就让人无从下手。为了使自己建立的“数列”能够得以证明,在建立之初就必须考虑好要有可以证明的方法。

本文所建立的“无穷递增素数数列”,首先要借用的工具还是“自然数圆形排列图”,因为创建这个“数列”的灵感同样是由“自然数圆形排列图”得到的,是建立在“自然数圆形排列图”的基础之上的。(关于“自然数圆形排列图”内容参见《世界上第一个求素数公式》一文)

我们把“自然数圆形排列图”前几圈中的素数找出来,排成一个数列:在这个排列图的第一圈中有2个素数,第二圈中有2个,第三圈中有4个,第四圈中有6个,第五圈中有9个,第六圈中有19个,第七圈中有33个,第八圈中有59个,第九圈中有107个,第十圈中有197个,第十一圈中有362个,第十二圈中有669个素数,第十三圈中有1256个,第十四圈中有2326个,第十五圈中有4388个,第十六圈中有8265个,第十七圈中有15631个,第十八圈中有29611个,第十九圈中有56322个,第二十圈中有107281个,第二十一圈中有204953个,第二十二圈中有392247个,第二十三圈中有751912个…。当然,如果我们继续努力,还可以继续统计下去。我们先将统计的结果总结如下:

名词“李君池素数数列”。(自我命名)

为了不失一般性,我们可以将“定理1”整理如下:

定理2:“李君池素数定理”。(自我命名)

设n为大于2的自然数,用?准(n→2n)表示n→2n之间的所有素数的个数;用?准(2n→4n)表示2n→4n之间的所有素数的个数;当n趋向于无穷大时,有■■=2,即当n趋向于无穷大时,自然数的个数扩大2倍,其中素数的个数也一定扩大2倍。

这一定理,我们称之为“李君池素数定理(即素数的倍比关系定理)”。

这一定理是由定理1推广得到的。在由“自然数圈”建立的“无穷递增素数数列”中,当圈数f趋向于无穷大时,后一圈中素数的个数与前一圈中素数个数的比值等于2。同样道理,设n是任意自然数,当n趋向于无穷大时,2n中素数的个数与n中素数个数之比,其比值也一定等于2。

“李君池素数定理”定理告诉我们:自然数中的素数不仅是无穷的,而且还按照一定的规律无穷递增的。这个定理的产生,是对传统“稀疏”观念的一次革命性的转变,它对于解决许多较为难以解决的数论难题将有着极大的帮助。

四、对传统观念的剖析

我们的分析还是要从“自然数圈”说起。在自然数圈中,前十四圈中是不存在“两相邻素数相隔数十个合数数位的情况”的,而能够出现这种情况的,一定要比第十四圈要大得多;前二十圈中是不存在“两相邻素数相隔数百个合数数位的情况”的,能够出现这种情况的,也一定要比第二十圈要大得多;出现“两相邻素数相隔数千、数万、数亿……个合数数位”的情况,一定是在非常大非常大的素数圈中。前面我们已经知道,第十四圈中有2326个素数,如果是在第十四圈中出现了“两相邻素数相隔数十个合数数位的情况”,也一定是隐藏在这2326个素数之中,丝毫不会减少素数个数的出现;如果是出现在第十五圈、第十六圈……第一百圈中,同样丝毫不会减少本圈中素数个数的出现。

“李君池素数定理”定理告诉我们:自然数中的素数不仅是无穷的,而且还按照一定的规律无穷递增的。所以,“两相邻素数相隔数十个合数数位的情况”,无论是出现在哪一个自然数圈中,都丝毫不会减少这一圈中素数的个数。同样的道理,“两相邻素数相隔任意大的各种情况”都是隐藏在各个不同的自然数圈中,即使出现了在一个自然数圈中“两相邻素数相隔一百个、一千个、一万个、一亿个……”这种情况,它也丝毫也不会减少这一圈中素数的个数,因为自然数圈中素数的个数是“无穷递增”的。有人会说,如果上述情况出现在两个自然数圈中,也就是横跨两个自然数圈呢?那它就更不会对自然数圈中素数的个数产生影响了,因为每一个自然数圈都是独立的,都是单独统计的,无论落在哪两圈中都丝毫不会减少这两圈中素数的个数。现在,我们还会担心“存在两相邻素数相隔任意大的各种情况”这句话吗?从数值上来说,无论“间隔”是何种情况,都一定会出现在自然数圈之中,都不会减少这一自然数圈中素数的个数。任一自然数圈中素数的个数是恒定的、是按照递增的方向发展的!

“李君池素数定理”的实质是要告诉我们,只有换一种思路看问题才能不被迷雾遮住了双眼。当我们用“倍比关系”来看问题时,就会得出与传统观念完全相反的结论:不管素数的分布越往上越是怎样的稀少,也不管两素数之间的间隔有多大,只要是自然数在某一基础上扩大2倍,其中素数的个数将会逐步扩大到1.7几倍、1.8几倍、1.9几倍,当n趋向于无穷大时,素数的个数也就扩大到了2倍。这种关系,我们称之为“李君池素数定理(素数的倍比关系定理)”。正是由于“素数的倍比关系”的存在,我们才能理直气壮地指出“素数的分布越往上越稀少”这种看法犯了以偏概全的错误。

(作者单位 安徽省地质矿产局327地质队)