关于余元公式在欧拉函数中的若干应用①

冯依虎

(亳州师范高等专科学校，安徽亳州 236800)

在应用问题中[1－5]经常会出现含参变量的积分

其中由(1)确定的函数称为伽玛函数(或写作Γ函数);由(2)确定的函数称为贝塔函数(或写作B函数)，它们统称为欧拉函数或欧拉积分[6].本文利用余元公式结合运用定积分的有关性质把二者联系起来，并通过实例分析讨论含有欧拉函数的积分计算以及余元公式在欧拉函数中的有关应用.下面陈述本文所用到的几个性质

性质1 若f(x)∈[0，1]，则

性质2 (余元公式)当0＜p＜1时，Γ(p)Γ(1－p)= π/sin pπ.

性质 3(函数的递推公式)Γ(s+1)=sΓ(s).

1 利用定积分的性质计算反常积分

利用定积分的有关性质和结论，容易判定某些反常积分的收敛性并算出它的值.例如考虑无界函数的反常积分[7]

其中x=0是瑕点.

2 余元公式在欧拉函数中的应用

在含有欧拉函数的反常积分中，应用余元公式能技巧地算出积分的值.例如设

求K的值.

令 α =1－ t，则dα =－ dt，α =1⇒t=0，α =0⇒t=1，于是

用余元公式可得

因此2K=ln2π，即

3 用Γ(s)与B(p，q)计算特殊三角函数的积分

利用余元公式，不难导出Γ(s)与B(p，q)之间的关系[6].

设 x=sin2t，则 dx=2sin tcos tdt，且 x=1⇒t.x=0⇒t=0.于是特别地，若令2p－1=n，2q－1=0，则

就有

综上所述，应用Γ函数与B函数结合余元公式是计算各类积分(包括三角函数有理式的积分和反常积分)行之有效的方法之一，本文通过实例分析，说明它具有广泛的应用.

[1][美]C.H.爱德华，张鸿林译.微积分发展史[M].北京:北京出版社，1989.

[2]龚昇，张声雷.简明微积分[M].合肥:中国科学技术出版社，1997.

[3][日]堑江城夫，桑原等.微积分讲解[M].四川:四川人民出版社，1983.

[4][德]戴根等.微积分题解(第二卷)[M].北京:人……