SH波的转移矩阵及其在声子晶体中的应用

刘启能

(重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067)

转移矩阵法是研究弹性波在多层介质系统中传播的有效方法，在介质中传播的弹性波分为纵波(又称P 波)和横波(又称S 波)两种形式［13］。对于P 波因其偏振方向与传播方向平行容易确定。对于S 波因其偏振方向与传播方向垂直而不易确定，因此进一步将S 波分为SV 波(即偏振方向平行于入射面的横波)和SH 波(即偏振方向垂直于入射面的横波)。在文献［14］中推导出P 波和SV 波垂直入射一维声子晶体的转移矩阵，并研究了P 波和SV 波垂直入射一维声子晶体的禁带特征。文献［15］推导出了P 波和SV 波斜入射一维声子晶体的转移矩阵，并研究了P 波和SV 波斜入射一维声子晶体的禁带特征。文献［16］利用P 波和SV 波斜入射一维声子晶体的转移矩阵进一步研究了一维掺杂声子晶体的缺陷模特征。但是SH 波在多层介质系统中的转移矩阵以及SH 波在一维声子晶体中的传输特性在文献［15］和［16］中没有涉及到，并且在其他文献中也未见相关的介绍。而SH 波又是具有典型意义的一类横波，因此研究SH 波在多层介质系统中的转移矩阵及其在一维声子晶体中的应用有着重要的意义。本文将推导出SH 波在多层介质系统中的转移矩阵，并利用它研究SH 波斜入射一维声子晶体的禁带特性和缺陷模特性。

1 转移矩阵

SH 波在多层介质系统中的转移矩阵实际上是由两个“基本单元”的转移矩阵组合而成:一是SH 波通过界面的转移矩阵。二是SH 波通过同一介质层的转移矩阵，下面分别给予推导。

设平面SH 波在多层介质系统中的xoz 平面内传播，如图1。经过界面的多次反射，在介质i 层内有沿z 轴正方向传播的SH 波和沿z 轴负方向传播的SH 波，它们的位移分别为:

其中:ω 为SH 波的圆频率，k=ω/cT为波矢;cT为SH 波的波速;θ 为传播方向与z 轴的夹角;θi和θj满足Snell 定律。由于各个位移波中都有相同的因子e-iωt，e-iωt可不记。为了描述介质中的上述两个位移波，引入二维位移波矢Ui:

位移波矢Ui通过一个“系统”后转变为位移波矢Uj，Ui和Uj的耦合关系可以表示为:

Mij为一个2 ×2 矩阵，称“系统”的转移矩阵。对于SH 波其位移始终垂直于xoz 平面，只有y 分量，即Uy=U、Ux=0、Uz=0，在图1 中用⊗表示其偏振方向。因此当SH 波通过介质i 和介质j 的界面时，其转移矩阵可以根据在界面两侧位移的y 分量Uy连续以及应力的y 分量σzy连续推出［17］。

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图1 界面两侧的SH 波

而应力由胡克定律给出:

其中μ 为拉梅常数，它们与波速cT和介质密度ρ 的关系为:

由位移和应力的y 分量在介质i 和介质j 的界面两侧连续有下面两个方程:

将式(5)整理为二维位移波矢Ui和Uj的矩阵关系为:

令:

则式(6)表示为:

位移波矢在界面处的转移矩阵Mij为:

当位移波矢通过厚度为di的第i 层介质时，位相变化为其转移矩阵Gi容易得到:

当位移波矢通过N 层介质系统时，其转移矩阵M*由矩阵的乘法得到:

其中下标0 表示声子晶体两边空间的介质。SH 波入射时，其入射空间的位移波矢U0和出射空的位移波矢U 分别为:

由U0=M*U，可以透射系数t 和反射系数r 分别为:

利用式(9)～(12)可以研究SH 波在声子晶体中的传输特性。下面利用SH 波的转移矩阵研究SH 波在声子晶体的禁带和缺陷模特性。

2 禁带特征

设SH 波以θ0的角度入射其结构为(AB)N的一维声子晶体，A 层为玻璃其密度ρ1=2 230 kg/m3、波速为cT1=3 430 m/s、厚度取d1=cT1/4f0，B 层为橡木其密度ρ2=462 kg/m3、波速为cT2=1 750 m/s、厚度取d2=cT2/4f0，周期数N =10。设入射空间和出射空间的介质都为有机玻璃，其密度ρ0=1 180 kg/m3、波速为cT0=1 120 m/s。归一化频率g=f/f0，f 为入射波的频率，取f0=10 000 Hz。下面分别研究SH 波的禁带随入射角和周期厚度的变化特征。

2.1 禁带随入射角变化

为了研究禁带随入射角的变化规律，计算出禁带频率随入射角的响应曲线，如图2。在图2 中白色区域为禁带，黑色区域为导带。由图2 可以看出:

①归一化频率g 在0.4 ～1.6 范围内出现了SP 波的一级禁带，归一化频率g 在2.4 ～3.6 范围内出现了SH 波的二级禁带。如果将归一化频率g 的范围扩大，还会出现三级禁带、四级禁带……，这表明SH 波在声子晶体中会产生周期性的禁带。

②SH 波的一、二级禁带随入射角的变化有着相似的规律:禁带的中心频率随着入射角的增加而增加;禁带的频率宽度随着入射角的增加而减小。

2.2 禁带随周期厚度变化

为了研究禁带随周期厚度的变化规律，固定入射角θ0=0，令d1=X(cT1/f0)、d2=X(cT2/f0)，X 为无量纲的参变量。周期厚度d=d1+d2=X(cT1+cT2)/f0，周期厚度的变化通过X 的变化来实现。计算出禁带频率随周期厚度的响应曲线，如图3。在图3 中白色区域为禁带，黑色区域为导带。由图3 可以看出:

①图3 中归一化频率g 由低到高的三条白色带分别是SH 波的一级、二级和三级禁带。三条禁带的频率随周期厚度的变化有着相似的规律。

②SH 波的各级禁带的中心频率随着周期厚度的增加而降低;各级禁带的频率宽度随着周期厚度的增加而减小。

图2 禁带频率随入射角的响应曲线

图3 禁带频率随周期厚度的响应曲线

3 缺陷模特征

设SH 波以θ0的角度入射其结构为(AB)NC(BA)N的一维掺杂声子晶体，A 层为玻璃，B 层为氧化镁，其密度ρ2=1 740 kg/m3、波速为cT2=3 100 m/s。掺杂层C 为铝，其密度ρ3=2 700 kg/m3、波速为cT3=3 100 m/s、厚度为d3。下面分别研究SH 波的缺陷模随入射角和杂质厚度的变化特征。

3.1 缺陷模随入射角变化

为了研究缺陷模随入射角的变化规律，固定N =6、d3=cT3/2f0，计算出一级禁带中的缺陷模频率随入射角的响应曲线，如图4。在图4 中黑色区域为一级禁带，禁带中间的白色细带为缺陷模。由图4 可以看出:

①归一化频率g 在0.8 ～1.2 范围内是SH 波的一级禁带，在一级禁带的中间出现了一条缺陷模带。这表明在一维声子晶体中掺杂后SH 波会产生缺陷模。

②SH 波缺陷模的中心频率随着入射角的增加而增加;缺陷模的频率宽度随着入射角的增加而增大。

图4 缺陷模频率随入射角的响应曲线

3.2 缺陷模随杂质厚度变化

为了研究缺陷模随杂质厚度变化的变化规律，固定N =6、θ0=0，令杂质厚度d3=Y(cT3/f0)，Y 为无量纲的参变量。杂质厚度的变化通过Y 的变化来实现。计算出一级禁带中的缺陷模频率随杂质厚度的响应曲线，如图5。在图5 中黑色区域为一级禁带，禁带中间的白色细带为缺陷模。由图5可以看出:

①杂质厚度对SH 波缺陷模的中心频率和频率宽度都有着明显的影响。

②SH 波缺陷模的中心频率随着杂质厚度的增加而减小;Y 在0.33 ～0.5 范围内SH 波缺陷模的频率宽度随着杂质厚度的增加而减小;Y 在0.5 ～0.68 范围内SH 波缺陷模的频率宽度随着杂质厚度的增加而增大。

图5 缺陷模频率随周期厚度的响应曲线

4 结论

前面利用SH 波在界面满足的边界条件，并引入二维位移波矢的概念，推导出SH 波在多层介质系统中的转移矩阵，这一转移矩阵方法的建立为研究SH 波在多层介质系统中的传输规律提供了一种有效的方法。利用移矩阵法研究了SH波在一维声子晶体中禁带和缺陷模的特征。得出:SH 波的禁带中心频率随入射角的增加而增大、随周期厚度的增加而降低，SH 波的禁带频率宽度随入射角的增加而减小、随周期厚度的增加而减小;SH 波的缺陷模中心频率随入射角的增加而增大、随杂质厚度的增加而降低，SH 波的缺陷模频率宽度随入射角的增加而增大。

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