新课程理念下数学史如何融入数学教育——基于对6套新课标实验教材的分析

☉新疆石河子大学师范学院 课程与教学系 刘 超

☉新 疆 石 河 子 大 学 理 学 院 代瑞香

近几年来，我国数学教育改革中，强调数学的文化价值，致使数学史知识得到广泛的关注.其实对于数学史的认识，在我国早期的数学教育中就已经有所重视.如1929年的《高级中学普通科算学暂行课程标准》、1932年的《初级中学算学课程标准》以及1936年的《初级中学算学课程标准》的教学建议中就强调：“凡教材具有特别历史兴味者，教师最好能随时提及，以引起学生之兴趣”［1］.2001年启动的新一轮课程改革进一步明确了数学史的作用.2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验）》要求：“通过趣味数学、数学史和数学家故事等拓宽学生学生学习领域，激发学生数学学习兴趣.［2］”2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学家的创新精神，提倡体现数学的文化价值.［3］”并设立11个数学史选讲专题和19个数学文化专题.

伴随着新课程改革的推进，数学史已经走进数学教材，走进课堂教学.本文通过调查6套新课标实验教材（3套高中教材，分别为：人教A版、北师大版、苏教版；3套初中教材，分别为：人教版、北师大版、华东师大版）中数学史的分布，具体分析数学史与新教材整合的特点，指出其优势和不足之处，进而深入探讨数学史与数学教育整合的有关问题.

一、对6套新课标实验教材的调查与分析

随着课改的不断深入，数学史对于数学教育的作用逐渐凸显，在数学教学中使用数学史也已经比较普遍.从宏观的角度来看，数学史的作用主要体现在以下几个方面.

（1）帮助理解数学.数学史帮助教师和学生把教材中“冰冷的美丽”还原回“火热的思考”.经常仔细品思数学历史素材，必然会“遂悟其意”，进而为深刻地理解数学本质，形成全面、正确的数学观打下基础.

（2）数学史帮助提高对数学的宏观认识.作为一名优秀的教师，不仅要授人以业，还要授人以法，进而授人以道.因此，教师必须宏观地厘清数学发展的脉络，深入理解数学的本质.数学史则为实现这一点提供了指引.

（3）数学史能够凸显数学的文化价值.这为实践新课程标准提出的提高学生文化修养，培养人文精神提供了一条可行路径.

（4）为课堂教学设计提供指导.

数学史可以把古人的思维与现今学生的思维作一番比较，共通的规律是什么？不同的特点又是什么？进而帮助设计数学教学.其中，前三个方面的作用较为容易实现，对于数学史第四个方面的作用，其实是数学史最主要的教育价值所在，该功能的实现存在较大困难.其中既有主观原因，也有客观原因.一是与教材密切相关的数学史料在数学史著作中鲜有提及或一带而过，没有现成的数学史资源来指导课堂教学；二是即便数学史素材较为丰富，目前教师的数学史素养还不能达到使用的要求.

为深入了解当前的各个版本的实验教材对于数学史的使用情况，笔者查阅了6套数学教材，将数学史在教材中的呈现形式、数量等方面的内容呈现如下（表1）.

表1：新教材数学史内容呈现分析表［4］［5］［6］［7］［8］［9］

调查发现，新教材对于数学史的处理有值得商榷之处，表现在以下几个方面.

（1）就呈现形式来看，新教材中数学史的主要呈现形式是“阅读材料”.教材多是将这些“阅读材料”置于章节末尾，教师由于教学任务的紧迫，以及考试、升学压力，基本上牺牲了这些数学史资源应有的地位和价值，只有少数学生由于个人兴趣才会去阅读这些史料.

（2）新教材中数学史的分量太轻，并且少有教育形态的数学史内容.在笔者看来，数学史在当前实验教材中的角色只是一种“背景装饰”，新教材多是“粘贴”式地插入一些数学史内容，没有将学术形态的数学史转化为教育形态.这些没有经过教学法加工的数学史内容对于学生的教育价值不大.

（3）新教材中的数学史内容尚未形成体系.一般来说，教材的编写是按照数学知识发展的主线展开的，这符合学生的认知发展规律，也遵循数学知识的发展历史.事实上，各个版本教材的编写者也是这样做的.只是，现行教材对于显性数学史内容的处理不够妥当，编写者多是处于教材编写的考虑，随机地摘选数学史上的史料片段安置于教材中，没有深入地考虑这些数学史内容与教材的贴合程度以及这些史料自身的前后联系和体系特征.

（4）数学史融入教材、渗透课堂教学尚不深入.当前教材中的数学史内容还无法实现“为教育而历史”.表现在，教材、教师等教学因素对于数学史的处理、使用简单化，目前只是在表层上做文章.

（5）在教学中，教师很少使用数学史.调查表明，当前的课堂教学中尚存在数学史融入教学的形式化倾向，浮于形式，两张皮现象.

二、数学史与数学教育的整合

1.以数学史为载体，凸显数学文化教育

数学是人类文化的一部分.提到数学文化，最容易想到的就是数学史.数学史是数学知识的发展史，一部数学史展现了数学知识产生、发展的曲折历程，包含了诸多数学家为之奋斗的可歌可泣的故事.从这个意义上说，数学史可以引导创造一种探索与探究的课堂氛围.以数学史为载体凸显数学文化教学，可以包含很多方面.首先是要善于挖掘和使用数学史.如在讲代数初步的时候，可以适时介绍1905年京师大学堂的《普通新代数教科书》，当时的这套教材还是用“天地人元”分别代替X，Y，Z，W表示未知数，甲乙丙丁分别代替A，B，C，D表示已知数，而不用阿拉伯数字，并且还是从右到左竖排，宛若天书.究其原因，这是清末“中学为体，西学为用”的结果，保守闭锁的写照，揭示了落后社会文化对数学文化的负面影响.透过数学史，还可以揭示不同地域、不同民族的数学文化.以古希腊和古代中国的数学文化为例，古希腊实行“民主制度”，需要以证据说理、崇尚逻辑演绎，体现客观的理性精神.反映到数学上，就是公理化体系的建立，演绎证明的运用，《几何原本》就很好地体现了这一点.而中国古代实行的是“君主皇权制度”，数学创造以是否能为皇权服务为皈依，因此《九章算术》几乎等同于古代中国的“国家管理数学”，丈量田亩、合理赋税 、安排劳役等为君王统治效力的数学方法成为主题，实用性的算法思想受到关注.如果课堂教学过程中，适时引入这些富有强烈人文主义色彩的内容，那么学生必然会受到人文精神的感染.数学史也有利于学生对于数学思想方法的掌握和理解.例如，商高在解释勾股定理的来源时，提到“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”.其中明确指出“矩”是一个最为根本的数学概念，它可以产生“方”（正方形），进一步可以产生与圆有关的数学知识（古代有“环矩以为圆”的说法），所以他认为只要对“矩”加以不同方式的变形（即折矩），就能衍生出新的数学关系，这是一个把握中国古代数学思想的典型例子.商高正是利用这一思想，通过对矩形加以折叠（折矩），而给出了勾股定理的巧妙而简洁的证明，如此割拼，也道出了复杂（直角三角形边的关系）源于简单（矩形）的深刻道理.［10］

当数学史的魅力真正渗入教材、到达课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，数学教育就会通过文化层面让学生进一步热爱数学、理解数学.

2.增加数学历史图片在教材中的比重

据统计，6套课标教材中有关数学史的图片都在十几张.试想一套初中教材有12册，一套高中必修教材也有5册，可见数学历史图片的数量明显偏少，其教育功效也就难以发挥.我们知道，数学史的英文表述为“the history of mathematics”，其中“history”一词源自拉丁语“historia”，意为“对往事的讲述”.数学史即是“对数学往事的讲述”.教材对于数学史的使用就好比是打开尘封的“往事”，但倘若只闻其“事”，不见其“形”，那么再好的故事恐怕也难以唤起学生的内心共鸣.因此，用丰富而珍贵的图片，再现历史场景，诠释历史事件，必然会成为新课程数学课堂教学的一抹亮色.历史属于过去，不能重演.但讲述与教材相关的内容时则可以借助各种手段“创设历史情境”，使学生“触景生情”、“睹物思人”.郑樵《通志》曰：“置图于右，置书于左，索象于图，索理于书.”此话一语道破了文字叙述与图片之间的联系，文字表述在于说理，图片在于使道理形象化.［11］可见，数学历史图片的独特优势在课堂教学中具有无可替代的重要作用.新教材应适当增加历史图片的数量，这些历史图片既可以是数学家头像，也可以是一本历史著作的封面或章节书影，也可以是记录重要历史时刻的一张邮票，也可以是一个经典几何图形，还可以是与问题匹配的情境图画（如《九章算术》中的图片皆属此类）等等.

3.重视古算题的教育价值

现行数学教材为了保持体系完整而缺少生气.新教材的结构化体系淹没了数学知识的产生、发展历程，新教材的形式化逻辑链条也淹没了当初数学发明创新时的火热思考，也掩盖了数学家的思维过程.数学史上的古算题为改变这一现状提供了可能.纵观历史上各个时代的古算题大都立意广泛，大都切实反映了各个时期人们的生存状况、生活情趣、劳作艺术、道德礼仪、战争徭役、教育审美等方面的内容.古算题的题设本身就包含了丰富的人文内涵，对于提高学生的人文修养大有裨益，也势必会激发学生对数学的热爱.

一般来说，古算题的使用及教学，首先会涉及到古今解法、一题多解等方面.如一元二次方程的求解，历史上有出入相补法、几何法、特殊值代入法、代数法等多种方法.教学中全面、系统分析这些解法不仅丰富了教学内容知识（PCK），也拓宽了学生的视野，有利于从整体上把握数学发展的脉络，深刻掌握各种数学思想方法.再有一点，古算题还展现了原始、朴素的数学思想.数学思想方法作为数学教学的一条“暗线”，反映着知识间的横向联系，它常常隐藏在基础知识的背后，需要加以分析、提炼才能使之显露出来.古算题的提出及其求解，或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，对于学生理解数学内容和掌握数学思想方法是非常重要的.以《九章算术》全书九章共246个问题为例，其每一章都是先列举若干个实际问题，并对每个问题给出解答，然后再给出“术”作为此一类问题的共同解法，这每一个“术”都包含了深刻的数学思想.若能在教学中系统利用这些古算题，有效地进行解题教学的“变式”训练，对于培养学生的数学思维能力是很有帮助的.相比传统的“题海战术”训练，古算题的求解则更容易实现教学目的.

4.开发基于数学史的数学教学案例

2005年，在第一届数学史与数学教育学术研讨会上，组委会倡议在全国范围内征集数学史与数学教育案例，未果.2011年，在第四届数学史与数学教育学术研讨会上，张奠宙教授建议开发一套数学史与数学教育案例.显然，HPM案例的开发已成当务之急.从对6套新教材的调查来看，数学史案例不多.数学史与数学教育案例的开发与实践已经成为制约数学史教育功能发挥的瓶颈.下面通过介绍我国台湾以及国际上的数学史案例开发经验，以期有所启示.

我国台湾地区关于数学史与数学教育案例的研究与开发主要集中于《HPM通讯》这一刊物.《HPM通讯》自2000年发行至今，刊发了许多数学史案例，也形成了数学史与数学教育案例开发的基本模式.《HPM通讯》中的案例主要是以“历史工作单”的形式进行设计，即针对一个教学内容，设计几张包含众多历史资料的工作单，并设计有关问题，按照历史的顺序展现知识的发展历程，学生通过学习工作单达到学习知识并灵活运用知识的目的.一般来说，工作单的制作需要具备以下几个方面的知识要求：

（1）了解所讲授主题的历史发展过程；

（2）确定历史发展过程中的关键环节，从一个环节发展到下一个环节的动因以及数学家所遇到的困难和障碍；

（3）在此基础上，重构这些环节，使其适合于课堂教学；

（4）设计出一系列由易至难、环环相扣的问题.实践证明，“历史工作单”形式的数学史案例教学效果良好，但也存在占用时间较多的困境.

国际上关于数学史与数学教育案例的研究也在不断深入，这其中最为引人关注的是美国数学史家、数学教育家卡兹（V.Katz）联合高校专家与中学数学教师共计22人历时2年完成的《Histrory Modules for the Teaching and Learning of Secondary Mathematics》一书.这一长达1300多页的文献资料共包含10个专题，内容基本覆盖中学数学内容，每一模块都有数学知识发展历史介绍，包括众多的各自独立的历史数学活动.每一专题又包括教师部分和学生部分.教师部分给出了使用模块的指南，包括使用年级、学科、所需教具、占用时间、何时用、如何用等内容；学生部分则在介绍数学史内容的基础上给出了大量的习题，有些习题是让学生在阅读历史文献的基础上直接应用数学史上的方法来解决.用卡兹的话说：“模块中每一个数学活动的设计都是为了让学生积极的参与，这些活动不是以纯数学史的形式呈现，而是将有关历史史料转化为了教育形态.模块中的每一部分内容都是独立的，便于教师选择性地使用.并且，每一模块内容都融入了大量的信息技术.”［12］，《Histrory Modules》的每一个专题，既有初等数学的内容，也有延伸的高等数学的内容，基本实现了初等数学与高等数学的衔接.所以无论是中学教师还是大学教师，都可以在课堂教学中选用其中的内容来实现教学目的.而且，《Histrory Modules》的使用还可以实现跨学科教学的目的，因为这些专题中不仅包含数学知识，还有物理、天文、哲学等方面的知识.如第一个模块“阿基米德的科学成就”中，既包括阿基米德的数学成就，也有其在物理学上的发明创造的内容.《Historical Modules》的研发启示我们，对于数学史与数学教育案例的开发，必须开展数学史界、数学教育界、一线教师之间的精诚合作，首先由高校专家学者完成相关主题的历史研究，获得历史材料，然后由大学与中学教师合作，根据需要对材料进行加工，制作成案例，最后由一线教师将案例用于教学设计，并付诸实践.只有如此，才能开发出既具有学术高度，又适应基础教育的数学史教育案例.

另一数学史与数学教育案例的开发方式就是“教育形态的数学史著述”，即鼓励数学史家、数学教育家创作数学教育面向的数学史专著.如一直致力于小学数学教学改革的北京特级教师吴正宪女士编著的《翻开数学的画卷—感受数学世界的人、文、情》，其实就是小学数学中的数学史内容介绍.

此外，还应在我国历朝历代的各部算经的基础上，结合中考、高考的考查重点，直接选用或编写一批具有数学史背景的考题，供命题人员选用.以古代算经为背景的试题最能体现数学文化，最能拉近课标理念与实际教学的距离.它能拓宽数学试题命制思路，有效避免数学试题命制模式化，也是使学生摆脱“题海战术”的一个重要手段.这一类型的试题除呈现多元数学文化之外，还能客观地检测学生的数学思维水平；能够检测学生运用所学的知识、方法在古算题情境中分析问题、解决问题的能力；能够间接地检测学生的后续学习能力；能够适当地检测学生遇到陌生的数学语言和符号时的应变能力和心理素质等.

5.加强数学史界与数学教育界、高校与中小学的协作

通过对我国召开的四届数学史与数学教育会议的统计发现，每届会议所提交的论文有纯数学史研究、数学史与数学教育理论研究、数学史与数学教育实践探索等方面.这其中，纯数学史的研究是由数学史专家完成的，数学史与数学教育理论研究主要由数学教育专家完成的，数学史与数学教育实践探索领域的研究者包括数学教育专家和一线中学教师.显然，数学史家对教育形态的数学史研究缺乏兴趣，数学教育学者对数学史的了解甚少，一线教师对于数学史以及数学教育理论的认识则更为肤浅，而且三者之间缺乏有效的合作.这一现实使得数学史与数学教育的研究举步维艰.因此，数学史界、数学教育界、一线教师之间的精诚合作应是解决当前数学史与数学教育问题的关键.如上文提及的卡兹主持编写的《Histrory Modules》就是高校数学教育专家、数学史专家和一线教师精诚合作的成果.再结合张奠宙先生在第四届数学史与数学教育会议上提出的“在数学史学会下设数学史与数学教育研究委员会或HPM研究工作组”的建议，我们认为，国内的数学史家、数学教育学者和中小学一线教师应尽快开展务实合作（华东师大汪晓勤教授的研究团队已经与义乌市王芳数学教育工作室开展了合作［13］）.在合作的基础上，开发更多的数学史与数学教育案例，让一线数学教师在参与案例开发过程中逐渐认识到数学史与数学教育案例的成功之处，认识到数学史对于数学教育的重大意义.唯有如此，数学史与数学教育研究才会迎来“阳光明媚的春天”.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.中华人民共和国教育部.全日制义务教育阶段数学课程标准(实验)［M］.北京：北京师范大学出版社，2001.

3.10.张奠宙.数学教育概论（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2009：114，116.

4.林群，主编.义务教育课程标准实验教材（七年级上册～九年级下册）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

5.马复.义务教育课程标准实验教材·数学（七年级上册～九年级下册）［M］.北京：北京师范大学出版社，2004.

6.王建磐.义务教育课程标准实验教材·数学（七年级上册～九年级下册）［M］.上海：华东师范大学出版社，2003.

7.刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学A［M］.北京：人民教育出版社，2004.

8.严士健.普通高中课程标准实验教科书·数学［M］.北京：北京师范大学出版社，2004.

9.单墫.普通高中课程标准实验教科书·数学［M］.南京：江苏教育出版社，2004.

11.纪志刚.数学的历史［M］.南京：江苏人民出版社，2009：149.

12.Victor Katz，Karen Dee Michalowicz.Historical Modules for the Teaching and Learning of Secondary Mathematics［M］.MAA，2004：1-8.

13.汪晓勤.HPM的若干研究与展望［J］.中学数学月刊，2012（2）：1-5.