量子线路的级联运算

闻 腾，吴国盛，赖云忠

(太原技科大学应用科学学院，太原030024)

20世纪80年代Feynman提出了基于量子力学规律工作的量子计算机的概念[1]，随后Deutsch指出可以利用量子态的相干[2]叠加性实现并行量子计算[3]，1994年Shor设计了能够进行大数质因子分解的量子算法[4]，使得量子计算及量子通信有了飞速的发展。在量子计算中，相关的运算都是通过量子门来实现的，本论文针对单量子比特门和一些常用的多量子比特门组合的矩阵表示及运算结果进行分析，得出了多量子比特门线路的矩阵表示，并进一步研究了n量子比特线路的级联运算，为量子计算机的gray编码[5]和程序化逻辑运算提供了最基本的理论依据。

1 量子门的矩阵表示

量子门按它作用的量子位的数目可分为一位门、二位门、三位门和N位门，n量子比特门对应的矩阵为方阵，为了便于计算主要研究3比特以下量子门，包括3比特量子门。

1.1 单比特量子门

单量子门主要有单位I门、X门、Y门、Z门、S门、T门、H门和一些单量子旋转门[6]，以非门为例对应的线路和矩阵表示如下:

图1 单量子门线路Fig.1 Circuit for one qubit gate

1.2 二比特量子门

以受控非门[7]为例，它是量子门中比较基础的门，任意n量子比特状态的两级酉运算都可以用单量子比特门和受控非门实现:

图2 受控非门线路Fig.2 Circuit for a NOT-gate

1.3 三比特量子门

图3 三比特量子门线路Fig.3 Circuit for three-qubit gate

矩阵的具体分解运算表示:

2 量子线路的级联运算规则

在量子网络中任意的量子线路都是可分解的，用In表示n阶单位矩阵，在量子线路逻辑单元的分解运算过程中，用M1表示线路的矩阵形式，量子线路和运算规则分别表示为:

图4 n比特量子门逻辑单元线路Fig.4 A single logical circuit for n qubits

量子线路的运算规则是从上到下从左到右对量子输入态进行幺正变换的演化，利用张量积方法分解[8]，将量子线路分解成逻辑单元线路的级联运算，用M2表示量子线路的矩阵形式，量子线路和运算规则分别表示为:

图5 n比特量子门线路Fig.5 Quantum network of an n-qubit gate

3 级连运算应用举例

图6 3比特量子Fourier变换线路Fig.6 Quantum Fourier transform for three-qubit gate

在这个3量子比特程序中，利用量子线路的级联运算理论可知，量子线路可看作是7个矩阵的级联运算，我们分别用A、B、C、D、E、F、G表示对应的分级矩阵:

在N比特量子Fourier变换[9-10]线路中，当n=3时，量子Fourier变换线路与图6所示量子线路相同，对应的量子线路和矩阵形式F3分别为:

图7 n比特量子Fourier变换线路Fig.7 Efficient circuit for the quantum Fourier transform

4 结论

通过分析量子线路的矩阵乘积形式，提出量子线路的级联运算规则，并用具体的实例完成了量子线路具体的计算过程，与Fourier变换运算结果一致，证明了其规则的正确性。量子线路的级联运算规则适用于任何量子线路，特别是在一些复杂的量子线路中，可以忽略量子比特之间的纠缠关系，利用矩阵相乘实现线路输入态的幺正变换，作为一种算法其优点是可以将量子线路用具体的矩阵表示出来，完成任意量子线路的逻辑运算，实现量子计算机的程序化运算。

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[5]喀兴林.高等量子力学[M].北京:高等教育出版社，2001.

[6]李士勇，李盼池.量子计算与量子优化算法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2009.

[7]MICHAEL A NIELSEN，ISAAC L CHUANG.Quantum Computation and Quantum information[M].Cambridge:Cambridge University Press ，2000.

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