一类非线性奇异三阶三点边值问题正解的存在性

曹 珂

三阶微分方程起源于应用数学和物理学的各种不同领域中，例如，带有固定或变化横截面的屈曲梁的挠度、三层梁、电磁波、地球引力吹积的涨潮等[1]。近年来，由于三阶微分方程在不同学科领域有着重要的应用价值，所以对非线性三阶微分方程边值问题的研究引起了数学工作者的极大兴趣，并取得了一些成果。随着对三阶两点边值问题的研究，数学工作者对于三阶多点边值问题也产生了浓厚的兴趣。其中，Anderson[2]通过运用著名的Guo-Krasnoselskii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理得到了边值问题

正解的若干存在性和多重性结果。文[3]通过运用Leggett-Williams不动点定理，考虑了如下三阶三点边值问题至少三个非减正解的存在性结果。

受以上文献的启发，本文运用单调迭代法考虑边值问题(2)正解的存在性，其中且a(t)在t=1时可能奇异。值得说明的是，通过运用迭代，我们不仅能说明正解的存在性，更重要的是能给出正解的两个迭代序列，这是一般的不动点定理不易满足的。

为了得到所需结果，全文需要下述假设：

一、预备引理

引理 1设 αη≠1，则对于任意给定的 h∈C(0，1)，边值问题有唯一解其中

证明：如果s=0或s=1，由引理2可知结论成立，因此假设则

二、主要结果

在本文的后续部分，我们记E=C(0，1)，定义其中的范数为

令 K=｛u∈E｜u(t)≥0，t∈[0，1]｝，易知 K 为 E 中的正规锥，而(E，K)为半序Banach空间.

定理2假设f(0)＞0且存在常数R＞0使得

其中v0(t)=0,w0(t)=Rt,t∈[0，1].则序列分别收敛于的不动点v，w∈C[0，1],这两个不动点即为边值问题(2)的解,并且满足

0＜v(t)≤R，t∈(0，1]且 0 ＜w(t)≤R，t∈(0，1]

这说明T:K→KR.

接下来我们证明如果序列v0｛}∞n=0 在 C[0，1]中……