混沌运动的特征及其在密码学中的应用

张金锋，尹新国，刘建军，公丕锋，朱孟正

（淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000）

混沌[1-2]被誉为继相对论和量子力学之后的本世纪最重要的科学发现之一，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，加深了人们对客观世界的认识.混沌理论的应用是一个具有广阔前景的前沿课题和学术热点，并逐渐成为一门新兴的产业，显示出巨大的经济效益和优越性，文献[3-5]指出人们对混沌理论及其在各个领域的应用有了清晰的认识.随着非线性科学及混沌理论的发展，混沌科学在电子学、信息科学、图像处理等领域都有了广泛的应用，混沌密码学就是其中之一[6-7].混沌密码理论利用混沌序列的非周期性和伪随机特性，将混沌序列作为密钥流和原始明文序列进行诸位异或而得到加密密文.

1 通向混沌最典型的途径：倍周期分岔

由一个确定性系统走向混沌的一种最典型途径是倍周期分岔.这里引入最典型的混沌数学模型逻辑斯蒂(Logistic)方程[8]来说明这个问题：

其中初值x0的取值范围为（0,1）,λ的取值范围为[0,4].在方程的演化过程中，将λ作为横坐标，迭代的结果xn+1作为纵坐标，并将其由小到大逐渐增大就可以展示倍周期分岔走向混沌的过程 (如图1所示).

从图1中可以看出，当λ<3时,系统还处于稳定的1周期.λ=3时开始2分岔，得到稳定的2周期，即对应一个λ的值，可以得到两个迭代值；λ=3.449时，得到稳定的周期4；λ=3.544时，得到稳定的周期8；随着λ的逐渐增大，系统按照2n进行倍周期分岔；当λ=3.569时，系统完全进入混沌状态.

图1 逻辑斯蒂方程的混沌展示图

2 混沌运动的基本特征

一般认为，混沌就是在确定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动.混沌现象产生的根源在于系统自身……