丢番图方程5·2x＋7·3y＝11＋2z·3w的计算机辅助解法＊

邓谋杰，周小娥

（海南大学信息科学技术学院，海南海口 570228）

丢番图方程5·2x＋7·3y＝11＋2z·3w的计算机辅助解法＊

邓谋杰，周小娥

（海南大学信息科学技术学院，海南海口 570228）

利用计算机辅助方法，给出了指数丢番图方程5·2x＋7·3y＝11＋2z·3w的全部整数解.

指数丢番图方程；整数解；计算机辅助解法

1 问题的提出

指数丢番图方程在丢番图方程理论中占有重要的地位，其研究成果不仅在数论研究中有重要的理论意义，同时还有重要的应用价值.例如，用于高精度对数计算、有限单群的分类等［1］.但对指数丢番图方程的研究常常是比较困难的，对于三元以上的指数丢番图方程，其研究尤为困难.Christopher M.Skinner［2］用Baker方法证明了如下结论：

定理1 指数丢番图方程

除去0解x＝y＝z＝w＝0外，仅有6组非0整数解

Baker方法是求解丢番图方程的一个重要的高等方法，但常常需要很大的计算量.文献［2］为求解方程（1），将对数计算到小数点后220位.在文献［2］结尾，作者指出求解形如（1）式的指数丢番图方程需要使用诸如对数的线性形式之类的高等方法.笔者将借助计算机以上定理1的一个较为简单的初等证明.

2 相关引理

引理1 若（x，y，z，w）是（1）式的非0整数解，则它必满足下列同余式之一：

证明 由文献［3］知，

利用模m＝4，8，16，32，3，9，27，81，5，7，13，19，37，73，考虑同余式5·2x＋7·3y≡11＋2z3w（mod m），可得上述结论，但计算十分冗长.若使用计算机，只要在1≤x≤36，0≤y≤35，1≤z≤36，0≤w≤35的范围内检验.设m＝min｛x，z，4｝，n＝min｛y，w，3｝，在PC机上用UBASIC语言编写的简短程序对模2m· 3n·5·7·13·19·37·73进行检验，运行时间仅10s.

3 定理的证明

下面给出定理1的证明，分2种情形讨论.

（Ⅰ）x＝0的情形.

此时（1）式右端必为奇数，于是有z＝0.原方程化为7·3y－3w＝6.

若w＝0，显然有y＝0；……