线性单中心城市停车换乘系统平衡问题建模

倪 爽，赵 晖，孙会君

(北京交通大学交通运输学院，北京100044)

1 引 言

随着交通服务需求的实际增长超过了规划者的预期，停车换乘服务等交通需求管理措施已被广泛引进到许多城市，鼓励通勤者使用汽车和公共交通的组合模式上下班，从而减少城市中心及其附近的交通拥堵.通勤者使用停车换乘模式是，首先开车到中心区域外围的停车场，然后停车改乘公共交通，最后步行到工作场所.合理的停车换乘设施具有诸多优点，对于使用者而言可以节省燃料费用、减少出行时间、改善出行的舒适度;对城市而言可提高运输效率、减少能源消耗、降低空气污染、减轻交通拥挤、减小中心区停车需求［1］.

交通走廊的研究目前集中在三个层面——城市尺度、区域尺度、国家或国际尺度.本文所指的交通走廊特指的就是城市尺度的以城市干道为核心的交通走廊.在线性单中心城市，出行者从城市边缘到达市中心的商业中心区(CBD).在实际情况中，单中心的城市结构虽已不存在，但在其某一中心的区域范围内，到达该中心的交通廊道在需求特性上与线性单中心城市相似.因此，交通走廊的需求分析可以建立在线性单中心城市系统平衡问题的基础上进行研究.

本文对相关文献有以下几个主要方面的扩展.第一，详细分析了在汽车模式、公交模式和P＆R模式下交通走廊的需求和供给方面的性质.表明对于出行距离的公交模式的出行负效用的单调性和凹凸性取决于公交站的乘客上车的拥挤效应.第二，在拥挤的交通走廊上，出行者间的确定性连续均衡建立为一个等价的变分不等式问题.在模式选择均衡模型构建下，汽车和公交模式间的相互作用和替代效应和乘客在公交上的拥挤不舒适性也就同时合并了.第三，提出在公共管理制度下的最小化社会成本模型.最后，给出一个例子来说明提出模型的应用.

2 基本假设

2.1 假设

不失一般性，为了方便说明基本思想，下面是本文的一些基本假设.

A1 城市交通走廊是线性的，汽车与公交共用这条走廊，且公交线路覆盖在城市走廊上.

A2 在自由流和没有P＆R的情况下，公交模式比汽车模式固定费用低和可变费用高，且汽车模式负效用低于公交模式［2］.

A3 住宅分布函数沿走廊为负指数分布［3］.距离CBD为x处的住宅密度为d(x)=d0exp(-μx)，∀x∈［0，B］，其中d0为CBD的住宅密度，μ为密度梯度，描述密度随距离增加的下降程度.即μ值越大，城市越紧凑，反之亦然.当μ值为0时，负指数的住宅密度将为均匀分布.研究区域的家庭总数

A4 在研究区域内假设每个家庭平均出行次数相同，用N表示.比如，N=1表示在研究区域内每个家庭平均每天有1次出行.

2.2 需求方面

设qa(x)、qb(x)、qp(x)分别为汽车、公交和P＆R模式在x处的出行需求密度，有

根据假设A1，公交通过整条线路，但不是整条走廊.设v(x)为x处的总交通量，有

式中 F——公交车的发车频率;

δ——公交车转换为私人小汽车的当量系数.

2.3 供给方面

2.3.1 汽车模式出行负效用

汽车模式出行负效用Ua(x)包括出行时间成本Ta(x)和货币成本Ca(x)两部分［4］，即

式中 αt——出行者的时间价值，用来将出行时间换算为等价的货币单位.

设ta(v(x))为汽车单位距离出行时间，且ta(v(x))为交通量v(x)的严格单调增函数.

K——交通走廊通行能力，假设其为常数;

ρ1，ρ2——正参数.

假设汽车从x点到CBD的货币出行成本Ca(x)为出行距离的线性函数，有

性质1(i)ta(v(x))为x的递减函数;(ii)Ua(x)为x的严格单调递增和凹函数.

(ii)根据式(3)-式(6)，分别给出Ua(x)关于x的一阶导数和二阶导数

因此，Ua(x)为x的严格单调递增和凹函数.

2.3.2 公交模式出行负效用

公交模式出行负效用Ub(x)由乘客在公交站的等待时间Wb(x)、公交车走行时间Tb(x)、乘客在公交车上的拥挤成本Gb(x)和车票τb组成.即

式中 αw——等待时间价值，用来将等待时间换算为等价的货币单位.

式中 S——公交线路上的通过能力;

γ1、γ2，γ3——正的校准参数;

Qb(x)——x点处公交车上乘客数量，包括在x点处上车的乘客和已经在车上的乘客.

公交车单位距离的出行时间表示为

乘客不舒适性主要受车上拥挤程度影响［5］.设g(·)为单位时间内的拥挤费用，假设它为车内乘客数量的严格单调增函数.那么，乘客从x点到CBD的总乘车拥挤费用为

性质2 (i)g(Qb(x))tb(v(x))为x的单调递减函数;(ii)Ub(x)不是x的单增凹函数，但是当式(10)中的第二部分可以忽略时，Ub(x)是x的单增凹函数.

证明:(i)g(Qb(x))tb(v(x))关于x的一阶导函数为

因此，g(Qb(x))tb(v(x))为x的单调递减函数.

(ii)Ub(x)关于x的一阶导函数如下:

其中，后面两部分为正，第一部分正负不能确定，所以不能确定式(15)正负.但是，若第一部分可忽略时(即dWb(x)/dQb(x)≈0)，则Ub(x)为x的单调增函数.

Ub(x)关于x的二阶导函数如下:

可以看出，最后三部分为负，但是第一部分正负不能确定，所以d2Ub(x)/dx2的正负不能确定.但是，若第一部分可忽略时(即dWb(x)/dQb(x)≈0)，Ub(x)为x的凹函数.命题得证.

2.3.3 停车换乘模式出行负效用

用Up表示P＆R模式的出行负效用分别表示在［0，xp］和［xp，B］上 x点处的出行负效用，有

式中 Pp——乘客在换乘点xp处的停车费用.

性质3 (i)为x的单调递增凹函数;不是x的单调递增凹函数，但是当式(10)中的第二部分可以忽略时是x的单调递增凹函数.

性质3的证明读者可参见性质1、2自行推导.

3 模式选择的连续均衡

3.1 均衡条件

根据假设A2，出行者通过最小化个人出行负效用来选择一种交通模式，此时，Wardrop用户平衡就达到了.当达到平衡状态时，同一起点的所有出行者有相同的出行负效用，而且没有人去改变他的模式选择［6］.平衡条件可以表示为

式中 λ(x)——从x到CBD的最小出行负效用.

“*”代表平衡状态，式(19)表明在整条廊道上乘客选择汽车模式，式(20)表明乘客选择公交模式，式(21)表明乘客选择P＆R模式.

3.2 均衡性质

式中 Ω——需求密度变量qa(x)，qb(x)，qp(x)的可行集.

证明:根据出行密度的非负性和用户均衡条件式(19)-式(21)，有

将式(23)、式(1)相加然后积分，式(24)、式(1)相加然后积分，将两个积分再相加得

约束条件为式(22)-式(24)，命题得证.

4 停车换乘系统设计

根据前面的确定性选择平衡模型，我们现在可以集中优化(或设计)一个P＆R走廊系统.在公共制度下，管理者的目标是最小化总的社会成本.总的社会成本Φ为用户出行成本ΦU和公交运营成本ΦO之和.即

用户出行成本ΦU可以表示为

公交车运营成本包括固定成本和可变成本，即

式中 κ0——固定运营成本;

κ1——每辆公交车每小时的运营成本;

M——线路上的公交车规模.

鉴于上述，在公共管理下，社会成本最小化问题可以描述为

决策变量的弹性约束条件为

5 数值例子

5.1 数据输入

假设走廊长度30 km，公交线长度25 km，研究区域内的家庭总数14 000.假设每个家庭每天到CBD的平均出行次数为1.0.我们给出单位乘车时间内公交的拥挤成本函数为

式中 θ1，θ2——正参数.

在数值例子中假设 θ1=0.000 001，θ2=0.005，在自由流下汽车和公交的速度分别为50 km/h，23 km/h.乘车时间价值、走行时间价值和等待时间价值分别为 50元/h，100元/h，100元/h.交通走廊通行能力6 500辆/h，公交容量每辆车120人.其他参数值为δ=3.0，ρ1=0.15，ρ2=4.0，γ1=0.5，γ2=0.05，γ3=2.0元 /辆·千米，κ0=1 700元，κ1=250元.另外，决策变量的范围为0≤xp≤30，0≤τa≤+∞，3.0≤τb≤+∞，0≤F≤+∞.

5.2 结果讨论

由表1可以看出，分别在10 km、20 km、30 km处设置停车换乘站点，在10 km处社会成本最小(为684 776元)，公交乘客数量最多(为7 016人)，私家车数量最少(6 984)，此时相应的公交车发车频率也相应增加.这说明在吸引客流的位置设置停车换乘站点，可以大大降低社会成本.

将选取停车换乘站点的位置进一步细分，每隔1 km选一次停车换乘点，得到不同位置停车换乘交通量图，如图1所示，在图1中，可以很直接观察到，并不是在所有停车换乘点都有停车换乘交通量，而停车换乘量主要集中在8-14 km处，这说明停车换乘点并不是越多越好，也不是在任意位置都可以.这也进一步呼吁我们在实际中，一定要小心规划停车换乘设施［7］.

表1 不同停车换乘点的最优解Table 1 Comparison of optional solutions for different P＆R location

图1 廊道上不同停车换乘点Fig.1 Different location of P＆R along the corridor

6 研究结论

本文提出的模型有以下结果和发现.第一，在提出的模型中，乘客在公交车站上车的拥挤效应，对公交模式有关出行距离的出行负效用的单调性和凹凸性有重要影响.第二，在拥挤走廊上，出行模式选择的确定性连续均衡解是存在的且是唯一的.第三，停车换乘点的位置与所采用的交通管理制度和居民分布(或城市结构)密切相关.第四，在一个竞争的多模式交通系统中，停车换乘可以有效协调人们的模式选择行为，来最大化系统效率.因此，提出的模型可以作为城市综合交通运输系统长期战略规划和城市可持续发展的一个有效工具.本文的研究，对象和诸多假设虽都是在比较理想的情况下设定的，但基于线性单中心城市的系统平衡问题的研究对于交通走廊交通需求分析却有着较强的借鉴意义.

本文提出的模型虽为实际政策提供了有用的观点，但是，仍不能包含实际的一些问题，应该在以后的研究中进一步考虑.第一，本文中应用了线性单中心城市模型，但是，这样的简单化可能会与实际不符.为了加强模型的实际性，应采用多中心城市模型和二维连续模型，这些都超出了现有文献的范围，需要进一步研究.第二，本文只考虑了车辆造成的拥挤效应，其他一些影响诸如对环境的影响就忽略了.在进一步研究中，可以进行对车辆尾气的研究.第三，本文中假设走廊上的公交车发车频率为一个固定的常数，但实际中因地点而异.所以在进一步研究中把因地点而变化的公交车发车频率考虑在模型中是很有意义的［8］.第四，本文所提出的模型是基于确定性模式选择，而出行者对每一种出行方式的出行负效用的误判情况和模型选择的偏好被忽略了.而且，汽车模式和公交模式都假设是完美的.在进一步研究中，可以适当放松这些假设条件［9］.

［1］梁志林.城市停车换乘设施规划研究［J］.公路，2009(4):181-186［LIANG Z L.A study on planning methods of park and ride facility in city［J］.Highway，2009(4):181-186.］

［2］Nnas A，Arnott R，Small K A.Urban spatial structure［J］.Journal of Economic Literature，1998，36(3):1426-1464.

［3］Ho H W，Wong S C，Hau T D.Existence and uniqueness of a solution for the multi-class user equilibrium problem in a continuum transportation system ［J］.Transportmetrica，2007，3(2):107-117.

［4］Li，Z C，William H K Lam，S C Wong.Modeling intermodal equilibrium for bimodal transportation system design problems in a linear monocentric city［J］.Transportation Research B，2012，46(1):30-49.

［5］Li，ZC，William H K，Lam S C，et al.Modeling parkand-ride services in a multimodal transport network with elastic demand［J］.Transportation Research Record，2007，1994:101-109.

［6］Huang H J.Fares and tolls in a competitive system with transit and highway:the case with two groups of commuters［J］.Transportation Research Part E，2000，36(4):267-284.

［7］Jehiel P.Equilibrium on a traffic corridor with several congested modes［J］.Transportation Science.1993，27(1):16-24.

［8］Li Z C，Lam W H K，Wong S C.The optimal transit fare structure underdifferentmarketregimeswith uncertainty in the network［J］.Networks and Spatial Economics，2009，9(2):191-216.

［9］Liu T L，Huang H J，Yang H，et al.Continuum modeling of park-and-ride services in a linear monocentric city with deterministic mode choice［J］.Transportation Research Part B，2009，43:692-707.