一类分数阶HIV模型的稳定性分析①

庄科俊

(安徽财经大学统计与应用数学学院应用数学研究所，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

传染病学中数学模型的引入，为理解疾病传播机制及其控制策略提供了一个全新的视角[1].Tuck与Wan建立了如下的HIV型种群动力学模型[2]:

其中x与y分别是t时刻未感染和已感染的CD4+T细胞的数量，z表示t时刻血浆中病毒粒子的数目.系统中所有系数均为正数，s是CD4+T细胞的生成率，μ是人均死亡率，k是CD4+T细胞被病毒的感染率，a是被感染细胞的人均消失率，c为感染细胞与病毒的转化率，而γ则是病毒粒子的死亡率.对系统(1)，已有学者研究其简化系统的动力学性质[3]、同伦摄动解[4].

最近，分数阶微积分引起了众多学者的广泛关注.由于分数阶模型的非局部性、记忆性等性质，分数阶微分方程在生物系统的建模中更加贴切实际，并且出现了一些描述传染病动力学、种群动力学的分数阶模型[5－6].因此，这里将考虑系统(1)的分数阶情形:其中 α ∈ (0，1]，Dα是 α 阶 Caputo微分算子[7].Arafa等人利用广义Taylor公式与同伦分析法，研究了系统(2)的简化模型的解[8].而本文的主要目的在于，研究分数阶系统(2)的平衡点的稳定性，并通过数值模拟验证理论分析的结果.

1 稳定性分析

图1 α=0.95时系统(2)的平衡点E2渐近稳定

系统(2)在平衡点E1处的Jacobi矩阵为

相应的特征方程为

根据分数阶 Routh － Hurwitz准则[9－10]可知，分数阶系统的平衡点稳定当且仅当所有特征根满足|arg(λ)|＞απ/2.通过简单计算不难发现，当arμ＞ks(c－a)时，平衡点E1渐近稳定;否则，E1不稳定.

对平衡点E2，相应的特征方程为:

令D(P)=18a1a2a3+(a1a2)2－，根据文献[9－10]中的相关……