平面曲线的切割函数的第二参数可导性

白晨明，岳崇山

（河北北方学院理学院，河北 张家口 075000）

双切圆技术是考察区域边界曲线对称性的一种重要的方法。已经有许多文献对曲线的双切圆进行了细致的研究。Peter J Gibin和Donal B O’shea讨论了平面闭曲线双切圆的存在性问题，［1］在他们的论文中切割函数是一个重要的工具。现在已经有一些文献从各种角度研究了切割函数的一些基本的性质［2－6］，特别是参考文献 ［6］讨论了平面曲线的切割函数对参数的连续性和可导性，从理论上证明了切割函数是光滑的，即它存在任意阶导数。

本文的工作是通过具体计算来考察切割函数第二参数的一阶和二阶导数在不连续点的极限情况，使用的方法主要是几何分析中Frenet公式、罗比达法则和函数求导的四则运算法则，希望得到的结果是：它们的不连续点都是可去间断点，进而得到切割函数关于第二参数的一阶和二阶导数的显式的表达式。这个工作的意义在于：倘若切割函数关于第二参数的一阶和二阶导数具有显式的表达式，那么就可以试图寻找平面曲线的凹凸性与其切割函数的凹凸性之间的关系。另外，关于切割函数在其间断点的极限的讨论，计算量很大，这是本文工作最大的困难。

1 相关概念

约定（s）为平面上的具有任意阶导数的曲线，称之为光滑曲线，这里参数s为弧长。

为平面曲线的Frenet公式。

定义1.2 设（s）为平面曲线，κ（s）为其相对曲率，（s0）是曲线上一点，称

为曲线（s）的切割函数。这里

2 主要结果

由于考察切割函数在s0∉S的连续性时的计算量比较大，为了计算简便，先来给出一个引理。

为了计算简便，从本节起用κ表示相对曲率κγ。

引理2.1 设平面曲线（s）在s，s0处的向径，单位切向量和单位法向量分别为：和，并且令则R，N，T与它们的导数R′，N′，T′满足公式

这里κ为平面曲线的相对曲率。

注解 用引理2.1的符号，切割函数可表示为：f（s0，s）＝2N／R。

定理2.1 平面曲线的切割函数关于第二参数s0是连续函数。

证明f（s0，s）是平面曲线（s）的切割函数。只需说明s0∈S是f（s0，s）的可去间断点。不妨设（s0）→（s）时，s0→s。此时，切割函数f（s0，s）的分子分母都趋于零，故可以考虑使用罗比达法则。

即f（s0，s）关于参数s0是连续函数。这样，如果视切割函数为二元函数的话，切割函数是连续的。

定理2.2 当s0∉S时平面曲线（s）的切割函数关于第二参数的导函数为

证明

显然f′（s0，s）在s0∈S4（s）时不连续，但是f′（s0，s）可以扩大到所有的参数。

定理2.3 在（s）处补充值2κ′（s）／3之后，平面曲线（s）的切割函数关于第二参数的导函数f′（s0，s）连续。

证明 不妨设（s0）→（s）时，s0→s。此时，切割函数的导函数f′（s0，s）的分子分母都趋于零，故可以考虑使用罗比达法则。切割函数的导函数为。可以设G＝4NT－2κTR，H＝R2。

首先，对G＝4NT－2κTR求导，

对以上各阶导数观察，当（s0）→（s）时，G（i）→0（i＝0，1，2，3）；然而观察G‴的表达式可知，G‴中求导取极限之后，能够得到非零常数的项只有－16κ′T，而－16κ′T的求导取极限等于16κ′（s），所以当（s0）→（s）时，G（4）→16κ′（s）。

下面的计算中，反复使用引理2.1的公式，复合函数求导法则以及求导的四则运算。受篇幅所限，只列出了计算结果，而省略了大部分的计算步骤。

接着，对H＝R2求导，H′＝2RR′＝－4RT

对以上各阶导数观察，当（s0）→（s）时，H（i）→0（i＝0，1，2，3）；然而观察H‴的表达式可知，H‴中求导取极限之后，能够得到非零常数的项只有－24T，而－24T的求导取极限等于24，所以当（s0）→（s）时，H（4）→24。

则切割函数关于第二参数的一阶导函数f′（s0，s）可拓广为

拓广的切割函数关于第二参数的一阶导函数（s0，s）在每一点连续。

下面来考察切割函数第二参数的二阶导数的存在性和连续性，因受篇幅所限，只列出了计算结果，而省略了大部分的计算步骤。

当s0∈S4（s）时，平面曲线（s）的切割函数关于第二参数的二阶导函数为

显然f″（s0，s）在s0∈S4（s）时不连续，但f″（s0，s）可以拓广到所有的参数。

引理2.2 设h＝－8κT2R＋4κN2R－4NR－2κ′TR2－2κ2NR2＋2κR2＋16NT2，则当s0→s时 ，h（k）→0，（k＝0，1，2，3，4，5），h（6）→360κ″（s）。

对以上各阶导数观察，当（s0）→（s）时，h（i）→0（i＝0，1，2，3，4，5）；然而观察h（5）的表达式可知，h（5）中求导取极限之后，能够得到非零常数的项只有－360κ″T，而－360κ″T的求导取极限等于360κ″（s），所以当（s0）→（s）时 ，h（6）→360κ″（s）。

引理2.3 设g＝R3，则当s0→s时，g（i）→0，（i＝0，1，2，3，4，5），g（6）→144。

对以上各阶导数观察，当（s0）→（s）时，g（i）→0（i＝0，1，2，3，4，5）；然而观察g（5）的表达式可知，g（5）中求导取极限之后，能够得到非零常数的项只有－144T，而－144T的求导取极限等于144，所以当（s0）→（s）时，g（6）→144。

定理2.4 在（s）处补充值之后，平面曲线（s）的切割函数关于第二参数的二阶导函数f″（s0，s）连续。

证明 不妨设（s0）→（s）时，s0→s。此时，切割函数的导函数

f″（s0，s）的分子g和h分母都趋于零，故可以考虑使用罗比达法则，由引理2.2和引理2.3可得

则切割函数关于第二参数的二阶导函数f″（s0，s）可以拓广为

拓广的二阶导函数（s0，s）在每一点都连续。

定理2.3和定理2.4的证明给出了平面曲线的切割函数的一阶和二阶导数的处处连续的具体的表达式，这有助于找到平面曲线的凹凸性与其切割函数的凹凸性之间的关系。

注：文中函数的一阶导数符号都统一成单撇号.二阶导数符号都统一成双撇号.三阶导数符号都统一成三撇号，三阶以上导数都写成了括号形式了。

［1］Gibin P J，O’shea D B.The bitangent sphere problem ［J］.Am Math Month，1990，97（01）：5-23.

［2］岳崇山，宋旭华.切割函数为常值的曲线的一个结果［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2010，26（03）：13-15.

［3］岳崇山.切割函数的运动不变性［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2010，26（05）：10-13.

［4］岳崇山，张蒲修.切割函数与参数选择的关系［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2011，27（05）：10-12.

［5］岳崇山.切割函数关于第二参数的分析性质［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2012，28（02）：15-16.

［6］岳崇山，宋旭华，景海斌.平面曲线的切割函数的分析性质［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2010，26（04）：14-16.