二元泰勒展式在求解函数极限中的应用*

杨元超， 张守贵

(重庆师范大学 数学学院，重庆401331)

二元泰勒展式在求解函数极限中的应用*

杨元超， 张守贵

(重庆师范大学 数学学院，重庆401331)

利用二元函数的泰勒公式求解二元函数的极限，并用若干例题说明了该方法的运用.

二元泰勒展式；函数极限；应用

函数极限是高等数学中的一个基本概念，也是高等数学课程中的一个重要内容.常见的一些基本一元函数极限问题及求法有很多方法，如：利用极限的四则运算求函数极限，利用两个重要的极限求函数的极限，利用洛必达法则求函数的极限，利用迫敛性求函数极限，利用泰勒展式求函数极限等[1，2].而用多元函数的泰勒展式求多元函数极限方法，在已有文献中却少见这方面的报道.此处探讨了用二元函数的泰勒展式求二元函数极限的方法及其运用.

1 二元函数的极限[3]

然而，用定义来求解二元函数的极限是比较麻烦的，下面探讨用二元函数的泰勒展式求解二元函数极限的方法.

2 二元函数的泰勒展式

定理1[4]设z=f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内连续且有直到(n+1)阶连续偏导数，(x0+h，y0+k)为此邻域内任意点，则有：

(1)

其中，

(2)

式(1)称为二元函数f(x，y)在(x0，y0)的n阶泰勒公式，式(2)称为其拉格朗日型余项.

当n=0时，公式(1)成为：

f(x0+h，y0+k)=f(x0，y0)+hfx(x0+θh，y0+θk)+kfy(x0+θh，y0+θk)

(3)

称式(3)为二元函数的拉格朗日中值公式.

3 利用二元泰勒展式求二元函数极限

利用上述二元函数的泰勒展式求解了一些具体二元函数的极限，以此来说明此外提出的算法是有效的、可行的.

解先求函数f(x，y)=xy在点(1，1)的三阶……