有限群的Mp－嵌入子群

鲍宏伟，缪利云

（1.蚌埠学院 数理系，安徽 蚌埠233030；2.扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州225002）

对子群嵌入性质的探讨是群论研究的热点问题之一.利用嵌入性质研究有限群的结构，目前已取得许多成果.例如：Ballester－Bolinches等［1］引入了s－拟正规嵌入的概念：设H是群G的子群，如果对于H的任意Sylow子群P，在G中都有一个s－拟正规子群K，使得P也是K的Sylow子群，则称子群H在G 中s－拟正规嵌入；Asaad等［2］利用s－拟正规嵌入得到了p－幂零的一些结论；李样明等［3］将s－置换嵌入子群、c－正规子群及弱s－置换子群定义统一推广为弱s－置换嵌入子群，并得到了超可解研究的一些重要成果；缪龙等［4］给出了M－可补子群的概念并获得了一些关于包含超可解群系的饱和群系的一些新刻画；特别地，Monakhov等［5］根据文献［4］的M－可补概念又提出了Mπ－可补的概念，当π＝｛p｝时，称Mπ－可补为Mp－可补；郭文彬等［6］利用Σ－嵌入子群的概念得到了关于可解群与p－幂零群的新结果.

本文利用子群的Mp－嵌入性质研究有限群的构造，得到了有限超可解群的若干充分条件.本文所有的群均为有限群，所用概念和符号参见文献［7－8］.

1 预备知识

定义1［5］设π为素数集，对于群G的子群H，如果存在B≤G，使得G＝HB，并且对于H的任意极大子群H1，H1B＜G，其中H1满足π（H∶H1）⊆π，则称子群H 在G中Mπ－可补.当π＝｛p｝时，称 Mπ－可补为Mp－可补.

定义2 设G是有限群，对于群G的子群H，如果存在群G的一个p－幂零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可补，则称子群H 在G中Mp－嵌入.

群G的Mp－嵌入子群在G中并非都是Mp－可补的.例如：设群G是36阶交换群，且G＝C2×C2×C9，C9是G的循环Sylow 3－子群，令H＝C2×C2×C3，则H 是G 的M3－嵌入子群，H 在G 中却不是M3－可补的.

引理1 设G是有限群，则下述结论成立：

2）令π是一个素数集合，N是G的正规π′－子群，H 是G的π－子群，如果H 在G中Mp－嵌入，则HN／N 在G／N 中Mp－嵌入.

证明：1）由Mp－嵌入的定义易知结论正确.

2）因为H在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一个p－幂零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可补.又由N是G的正规π′－子群，H 是G的π－子群及文献［4］中引理2.1可知，BN／N在G／N中Mp－可补.此外，显然

（HN／N）p∈Sylp（BN／N），故HN／N 在G／N中Mp－嵌入.

引理2［8］设N是群G的非平凡可解正规子群，如果N∩Φ（G）＝1，则N的Fitting子群F（N）是G的包含在N中的极小正规子群的直积.

引理3 设R是群G的可解极小正规子群.如果存在R的极大子群R1，使得R1在G中Mp－嵌入，则R是素数阶循环群.

证明：因为R是群G的可解极小正规子群，所以R是初等交换p－群，其中p∈π（G）.由假设，R1在G中Mp－嵌入，则存在G的一个p－幂零子群B，使得R1∈Sylp（B），且B在G中Mp－可补.即存在G的一个子群K，使得

其中Bp′是B的正规p－补，并且对于R1的任意极大子群T，

因为R是G的极小正规子群，所以R＜TBp′K 或R∩TBp′K＝1.如果R＜TBp′K，则

引理4［9］设F是包含U的饱和群系，群G有可解正规子群H，使得G／H∈F.如果对于G的任意极大子群M，使得F（H）≤M或F（H）∩M是F（H）的极大子群，则G∈F.当F＝U时，逆命题也成立.

引理5［10］设N是群G的子群.如果群G的广义Fitting子群F＊（G）是G的唯一极大正规拟幂零子群，则下述结论成立：

2）若G≠1，则F＊（G）≠1，事实上，

3）F＊（F＊（G））＝F＊（G）≥F（G）；若F＊（G）可解，则

4）CG（F＊（G））≤F＊（G）；

6）若K≤Z（G），则

2 主要结果

证明：假设结论不真且G为极小阶反例.分两种情形考虑.

情形1）N∩Φ（G）≠1.

由N∩Φ（G）≠1，存在G的一个极小正规子群R，使得R≤N∩Φ（G）.由N可解知R是一个初等交换p－群.显然，

设P／R是F（N／R）的一个Sylowp－子群，则P是F（N）的一个Sylowp－子群.已知P在G中Mp－嵌入，根据引理1中结论1）可知P／R在G／R中Mp－嵌入.再设Q／R是F（N）／R的一个非循环Sylowq－子群，其中q≠p，则Q＝Q1R，Q1是F（N）的一个非循环Sylowq－子群.由假设，Q1在G中Mq－嵌入，根据引理1中结论2），Q／R＝Q1R／R在G／R中Mq－嵌入.由G的极小选择表明G／R∈F，又由于F是饱和群系，因此G∈F，矛盾.

情形2）N∩Φ（G）＝1.

设P＝Op（N），则P是G一些极小正规子群的直积.设

其中Ri（i＝1，2，…，t）是G的极小正规子群.设是R1的极大子群，则P1＝×R2×…×Rt是P的极大子群.令M＝R2×…×Rt.因为P在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一个p－幂零子群B，使得P∈Sylp（B），同时存在G的一个子群K，使得

定理2 设G是有限群，如果F＊（G）是可解的，并且F＊（G）的任意Sylow子群在G中Mp－嵌入，则G是超可解的.

证明：假设结论不真且G为极小阶反例.

1）对于任意的p∈π（F＊（G）），Φ（Op（G））＝1且F＊（G）＝F（G）是可交换的.

若Φ（Op（G））≠1，则由引理5可得

显然，G／Φ（Op（G））满足定理的条件，由G 的极小选择可知G／Φ（Op（G））超可解，所以G超可解，矛盾.此外，Op（G）是初等交换群，F＊（G）是可解群，易知F＊（G）＝F（G）是可交换的.

2）P∩Φ（G）≠1.

设P是F＊（G）的Sylow子群，则存在G包含在P∩Φ（G）中的极小正规子群L.由1）知LΦ（P）.因为P在G中Mp－嵌入，故存在G的一个p－幂零子群B，使得P∈Sylp（B），同时存在G的一个子群K，使得

矛盾.

3）P∩Φ（G）＝1.

由引理2，P是G包含在P中的一些极小正规子群的直积.由式（1）知RiΦ（P）且RiΦ（G）.因为P在G中Mp－嵌入，所以存在G的一个p－幂零子群B，使得P∈Sylp（B），同时存在G的一个子群K，使得G＝BK＝PBp′K，其中Bp′是B 的正规p－补，并且对于P 的任意极大子群P1，由于RiΦ（P），故存在P的极大子群T，使得P＝RiT.因此

由RiΦ（G）得从而P是G的一些p阶极小正规子群的直积.因为F＊（G）是自身的Sylow子群的直积，所以可以假设F＊（G）也是G的一些素数阶极小正规子群的直积.令

其中Hi（i＝1，2，…，n）是G的素数阶极小正规子群.因此，F（G）≤Zu（G）.根据1），可得

易见

是可换的，因此，G／F（G）是超可解的.从而G是超可解的，矛盾.

感谢扬州大学数学科学学院缪龙教授的悉心指导和有益讨论.

［1］Ballester－Bolinches A，Pedraza Aguilera M C.Sufficient Conditions for Supersolubility of Finite Groups ［J］.J Pure Appl Algebra，1998，127（2）：113－118.

［2］Asaad M，Heliel A A.On S－Quasinormally Embedded Subgroups of Finite Groups［J］.J Pure Appl Algebra，2001，165：129－135.

［3］LI Yang－ming，QIAO Shou－hong，WANG Yan－ming.On Weakly S－Permutably Embedded Subgroups of Finite Groups［J］.Comm Algebra，2009，37（3）：1086－1097.

［4］MIAO Long，Lempken W.On M－Supplemented Subgroups of Finite Groups［J］.J Group Theory，2009，12（2）：271－287.

［5］Monakhov V S，Shnyparkov A V.On the p－Supersolubility of a Finite Group with a M－Supplemented Sylow p－Subgroup［J］.Siberian Math J，2009，50（4）：681－686.

［6］GUO Wen－bin，Skiba A N.Finite Groups with Systems ofΣ－Embedded Subgroups［J］.Sci China Math，2011，54（9）：1909－1926.

［7］Doerk K，Hawkes T.Finite Soluble Groups［M］.Berlin：Springer，1992.

［8］GUO Wen－bin.The Theory of Classes of Groups［M］.Beijing：Science Press，2000.

［9］MIAO Long，Lempken W.On M－Permutable Maximal Subgroups of Sylow Subgroups of Finite Groups［J］.Comm Algebra，2010，38：3649－3659.

［10］MIAO Long.On p－Nilpotency of Finite Groups［J］.Bull Braz Math Soc，2007，38（4）：585－594.