高三数学复习如何做到“正本清源”

● (嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314050)

高三数学复习如何做到“正本清源”

●陈云彪(嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314050)

每年进行高三复习时，总有些学生的解题能力没有达到教师所想要的理想的程度．每次测验下来，学生的有些错误出乎意料，认真分析原因，主要在于学生对数学概念的理解不到位.因为对概念理解不够透彻，所以在基本方法的使用上不够灵活、熟练，一旦碰到新的题目，就会没有思路．因此,教师在教学中要加强数学思想和数学概念的教学．

下面笔者结合自己在平时教学中的一些体会，来谈谈解决此类问题的具体方法．

1 控制教学中的难度，强化数学基本概念的教学

平时的教学难度太大往往会弱化教师对概念教学的深化，究其原因是多方面的，但主要是教师在复习认识上的问题.教师普遍的观点是：会当凌绝顶，一览众山小;喜欢难，不强调基础．笔者认为这样做有许多弊端：其一，会使许多学生在高一、高二时学得不理想，在高三时得不到很好地加强；其二，教师任意地拔高难度，从而使一部分学生逐渐失去学习数学的信心；其三，养成了学生“好高骛远、不踏实做题”的习惯．这样，我们的复习就无法达到预期的效果．

譬如在复习“直线和圆的位置关系”时，笔者安排的第1个例题如下：

例1求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长．

这个例题非常简单，涉及到直线和圆位置关系的基本处理方法，主题非常明确.

方法1(解析几何法)

解析几何处理问题的核心方法是2个方程联立.

得到交点坐标，再利用两点之间的距离公式求解．

评注方法1体现了解析几何处理问题的基本方法:用代数运算来处理几何问题．它是整个解析几何教学的核心，在平时的教学中要强化．很多教师认为这对于解决与圆有关的问题未必是好的方法，因此在平时教学中未给予重视．这样的处理是不足取的，久而久之，会弱化学生对解析几何本质的认识．

方法2(利用圆的性质)

在初中阶段，学生已学过许多圆的性质，这些性质往往有助于简化问题的解决.

x2+(y-2)2=4,

因此直线被圆截得的弦长为

评注方法2和方法1相比，简化了计算.学生认识到处理解析几何问题的特点：用代数法来处理几何，使许多的几何问题得到了很好的解决.但在解决问题时，若能适当地运用一些几何性质，往往会使问题得到简化．

例1的设计非常巧妙，在平时解决解析几何题目时重视图形作用的学生，得到如下更为简捷的方法：

图1

一个简单的题目，通过3种基本方法的对比，使学生对解析几何中有关圆问题的解题策略有了较深刻的理解，相信他们在以后的解题过程中会找到合适的方法．

2 重视对经典题目的剖析，切忌过分追求“新”、“奇”

高三复习的资料更新十分及时，但有些资料由于编者时间上的仓促，往往选题上没有斟酌，因此无论题目还是解题过程，没有很好地体现一个“例”字．教师在强调题目“新”的同时，往往忽视了一些经典题目在教学中所起的作用．笔者认为经典题目之所以经典，首先在于题目本身包含了重要的解题思想，再者对学生而言，它未必就是陈题.教师还是要强调其在教学中的价值,要在教学上花功夫，推陈出新，使经典题目展示新的含义．下面来看一个直线和圆问题中的经典题目：

例2已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于点P,Q，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值.

对于这个问题，通常的解法是：

方法1联立方程

得

5y2-20y+12+m=0,

因此

(1)

由OP⊥OQ,得

x1x2+y1y2=0，

从而

9-6(y1+y2)+5y1y2=0,

将式(1)代入，得

解得

m=3.

除了常规方法，经过思考，例2还可以用以下2种方法解决.

方法2(利用平面几何)

当OP⊥OQ时,点P,Q,O共圆(不妨设此圆的圆心为M),且圆M的直径就是PQ.设圆x2+y2+x-6y+m=0的圆心为N，圆心N和PQ中点的连线与已知直线x+2y-3=0垂直，其方程为

图2

即

2x-y+2=0.

联立

而在圆M中，因为PQ是直径，所以

解得

m=3.

评注比较方法1与方法2，发现在有关直线和圆位置关系的题目中，常规的解题方法还是具备普遍意义的．因此在平时的教学中要强调数学的同性同法，真正的“清本正源”，对方法发生、发展过程要清楚地分析，这样有助于学生对知识的理解，学生的解题能力也会有很大的提高．

方法3(利用圆系方程)

当OP⊥OQ时,点P,Q,O共圆(不妨设此圆的圆心为M),且此圆的直径就是PQ，即PQ的中点即为圆心M.设圆x2+y2+x-6y+m=0的圆心为N，圆心N和PQ中点的连线与已知直线x+2y-3=0垂直，其方程为

即

2x-y+2=0.

联立

得点M的坐标为(-1,2).由此可设圆M为

(x+1)2+(y-2)2=r2.

因为此圆过原点，所以

(x+1)2+(y-2)2=r2，

(x+1)2+(y-2)2=5.

而圆M和圆N的公共弦为

(x+1)2+(y-2)2-5-(x2+y2+x-6y+m)=0,

即

x+2y-m=0.

此方程就是

x+2y-3=0,

故

m=3.

3 防止脱离课本，天马行空

高三复习时所选用的资料是非常完备的，几乎是教师怎么想，资料就怎么做，但正因为这样，也养成了教师对复习资料的依赖性.笔者认为资料和课堂教学一样，要想真正成为自己的东西，还是需要好好地整合．在复习过程中，不要脱离课本，天马行空式地复习，这样做不仅效率低，而且学生对数学概念的理解依旧不会出现好转.因此，想要把教师和学生从题海战术中解脱出来，关键在于重视教材的应用．下面来看这样一个问题：

例3一个口袋内有带有标号的大小相同的7个白球和3个黑球，现从中摸出2个球，求一黑一白的概率．

学生给出了2种不同的解法：

评注在这个问题中，学生有3个困惑之处：

(1)球是不是有区别？

(2)摸出的球是否要排序？

(3)为什么2种方法得到的结论一样？

其实例3可以利用《数学(必修3)》第127页的例题——给球贴标签的方法来处理．本来球是不是有区别，我们不去管它，现在对球进行贴标签来加以区别，然后再利用古典概型的基本概念加以解决.如果球贴了标签，那么球与球之间就有所区别了，方法2就较容易理解了．

解决问题之后把标签擦掉，请思考：在摸出球之后，附加一个“把球上的标签擦掉”的动作，会改变事件的概率吗？这显然是不合情理的．

这里笔者只是举例说明，在教材中许多地方都有这样的数学思想，在平时的复习中要好好利用.数学复习的重点不仅仅指熟悉其知识点,更重要的是掌握其提供的方法.