变形问题在一元函数微积分学中的体现

王志超 (中国传媒大学经济与管理学院，北京 100024)

变形问题在一元函数微积分学中的体现

王志超 (中国传媒大学经济与管理学院，北京 100024)

以一元函数微积分学中3个典型的变形问题(导数形式与极限形式的相互转变、不定积分形式与导数形式的相互转变、定积分形式与抽象函数形式的相互转变)为视角，通过对实例的分析与反思，研究了变形问题的命题依据和解题策略。

一元函数微积分；变形；数学关系；原函数；抽象函数

变形是数学学科的基本技能之一，在形形色色的数学问题中涉及广泛。由于它需要考验解题者对于数学形式特征的敏感程度，对思维的跳跃性要求较高，许多教材又很难成体系地归纳出方法的定论，所以成为了许多同学在解题中难以逾越的鸿沟。在学习中，如何突破这一“瓶颈”呢？笔者认为，一方面，要剖析命题者设计这个变形题的依据是什么，清楚往哪里变；另一方面，要深究解题者实现这个变形的关键点是什么，清楚怎么变。下面就以一元函数微积分学中3个典型的变形问题为视角，谈一谈笔者对于变形的拙见。

1 导数形式与极限形式的相互转变

1.1正向：变极限式为导数式

(2)本题是不是x0-h看作“x0”，2h看作“Δx” 呢？不是。因为题中只交代了f′(x0)存在，并未说明f′(x0-h)是否存在。故只能把x0看作“x0”，h和-h看作“Δx”。由于题中没有f(x0)项，可在分子先加f(x0)再减 ，并将分式拆成2项，即：

反思如何将极限式凑成导数的定义式？

(i)关注x0和Δx的抽象性。“x0”可以是数，也可以是实在的x0，但必须满足“f′(x0)”存在；……