欧拉恒等式与Amitsur-Levitzki定理

魏亚萍,曹明,冯怡君,游松发

(湖北大学数学与计算机科学学院,湖北 武汉 430062)

0 引言

令Γ是有多重边的有限有向连通图,其顶点集V(Γ)={1,…,k},边集E(Γ)={e1,…,eN}.σ,τ是E(Γ)到V(Γ)的映射,并定义σ(es)=i,τ(es)=j,由此可知es为顶点i到顶点j的有向边,对i∈V(Γ),令φ+(i)=|{es|σ(es)=i}|,φ-(i)=|{es|τ(es)=i}|,且γ(i)=max{φ+(i),φ-(i)}.若π∈Sym(N)(作用在{1,…,N}上的对称群),且τ(eπ(i))=σ(eπ(i+1))(∀i=1,…,N-1),则称eπ(1)eπ(2)…eπ(N)是Γ的一条欧拉路,具有欧拉路的有向连通图称为欧拉图.众所周知,连通图Γp,q有从p到q的欧拉路,当且仅当下列两个条件之一成立:

a)p=q时,φ+(i)=φ-(i)(∀i=1,…,k);

b)p≠q时,φ+(p)=φ-(p)+1,φ-(q)=φ(q)+1,且φ+(i)=φ-(i)(∀i∈{1,…,k}(〗p,q}).

由定理0.1立即可以得到

推论0.1[1]令Γp,q是欧拉图,且|V(Γp,q)|=k,|E(Γp,q)|=N,若N≥2kn,则fΓp,q(x1,…,xN)=0是域F上n×n矩阵环Mn(F)的多项式恒等式.

1 主要结果

则有

定理1.1若R是有1的F-代数,f∈F〈X〉,则下列结论等价.

1)f=0是Mn(R)的多项式恒等式;

2)对所有1≤i,j≤n,φij(f)=0是R的多项式恒等式;

3)φ11(f)=0是R的多项式恒等式.

定理1.1的证明1)⟺2)及2)⟹3)是显然的,只须证明3)⟹2).

因此,∀i=1,…,n,φii(f)=0是R的多项式恒等式.

1)f=0是Mn(R)的多项式恒等式;

定理1.2的证明由f是多重线性时φij(f)的上述刻画,直接应用定理1.1,获证.

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