某类积分算子解析函数的性质

李小飞，严 证

(1.长江大学工程技术学院，中国 荆州 434020；2.茨城大学理学部，日本 茨城 3108512)

设A是单位圆盘U={z:|z|<1,z∈C}内的单叶解析函数族且有泰勒展开式

(1)

我们用K(γ)(0≤γ<1)表示γ阶凸函数族：

定义A中函数族β-UCV(α):

和函数族β-K(α):

这里-1≤α≤1,β>0,z∈U.容易验证，f(z)∈β-K(α)当且仅当zf′(z)∈β-UCV(α).对此函数族及其特殊类型的函数族，文献[1～5]进行过研究并得到了一些十分重要的结论.Breaz等[6]特别研究了函数族β-UCV(α),β-K(α)的凸性.

1 预备知识

设ρ>1,用N(ρ)[7]表示A中满足下面不等式的f(z)组成的函数族：

N(ρ)的定义是有意义的，如f(z)=(1/(2ρ-1)){1-(1-z)2ρ-1}.用MD(α,β)表示A中满足下面不等式的f(z)构成的函数族：

用ND(α,β)表示A中满足下面不等式的f(z)构成的函数族：

这里α>1,β≤0,z∈U.容易验证,f(z)∈ND(α,β)当且仅当zf′(z)∈MD(α,β).函数族MD(α,β)和ND(α,β)由Nishiwaki等[8]引入.设g(z)∈A且

(2)

f(z),g(z)的卷积(或Hadamard乘积)定义为

对于fi(z)∈A,γi>0(i=1,2,…,n),Frasin[9]定义了积分算子函数In(z)如下

定义一类解析函数族MDg(α,β)

这里α>1,β≤0,z∈U.特别地，

文献[11]对积分算子函数Gn(z)做过研究.

文献[14]对积分算子函数Fn(z)做过研究.

文献[14]对积分算子函数Fγ(z)做过研究.

2 主要结果

定理1若函数f(z)∈A由(1)定义，g(z)由(2)定义，且满足下面不等式

(3)

则f(z)∈MDg(α,β),这里α>1,β≤0,z∈U.

证假设f(z)由(1)定义，g(z)由(2)定义且不等式(3)成立，即

为方便计算，令

所以f(z)∈MDg(α,β).

推论1若函数f(z)∈A由(1)定义，且满足下面不等式

则f(z)∈MD(α,β).

证在定理1中令bj=jk即可.

推论2[8]若函数f(z)∈A由(1)定义，且满足下面不等式

则f(z)∈MD(α,β).

证在定理1中令bj=1即可.

推论3[8]若函数f(z)∈A由(1)定义，且满足下面不等式

则f(z)∈MD(α,β).

证f(z)∈ND(α,β)当且仅当zf′(z)∈MD(α,β),在推论2中用jaj替换aj即可.

证由In(z)的定义，得

经变形，得

证在推论4中令α1=α2=…=αn=α,β1=β2=…=βn=β.

证在推论4中令n=1即可得证.

证在推论7中令α1=α2=…=αn=α,β1=β2=…=βn=β.

推论9若f(z)∈MD(α,β),α>1,β≤0,则Gn(z)∈N(ρ),这里ρ=1+(α-1)γ.

证在推论7中令n=1即可得证.

证在推论10中令α1=α2=…=αn=α,β1=β2=…=βn=β即可得证.

推论12若f(z)∈ND(α,β),α>1,β≤0,则Fn(z)∈N(ρ),这里ρ=1+(α-1)γ.

证在推论10中令n=1即可得证.

参考文献：

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