弱S-嵌入子群与有限群的超可解*

2013-11-24 08:35郭桂容
关键词:子群反例素数

郭桂容,赵 涛

(1.六盘水师范学院数学系,贵州六盘水 553004;2.山东理工大学理学院,山东淄博 255049)

本文所讨论的群均为有限群,使用的符号及术语是标准的 (见文 [1])。设F为饱和群系,群G的子群H被称为是F-可补的是指存在L∈F使得G=HL成立。此时,我们称L是H在G中的一个F-补。群G的子群H被称为是S-可换的[2](或S-拟正规的[3]),若H与G的每个Sylow子群P都可换。在文 [4]中,作者将其推广为:群G的一个子群H称为是G的S-可换嵌入子群,如果H的每个Sylow子群同时也是群G的某个S-可换子群的Sylow子群。目前,人们已对这两个概念做了很多的推广。例如,郭教授等[5]引入了几乎S-正规子群的概念。群G的子群H被称为是几乎S-正规的是指存在NG使得HNG且H∩T≤Hse,其中HsG是群G含于H的最大S-可换子群。作为进一步地推广,S-嵌入子群的概念在文 [6]中被引入:H被称为是G的S-嵌入子群是指存在NG使得HN在G中S-可换并且H∩T≤Hse。通过对某些子群的几乎S-正规性和S-嵌入性质的研究,人们已经得到了很多有意义的结果 (可见文[7-8]等)。最近,在文 [9]中作者们引出了以下概念:

群G的子群H称为G的一个弱S-嵌入子群,如果存在G的正规子群T使得HT为G的S-可换子群且H∩T≤Hse,其中Hse是群G含于H的一个S-可换嵌入子群。

在文[8-9]中,通过假定群G的某些素数幂阶子群满足弱S-嵌入性质,作者们已经得到了关于群G结构的若干重要刻画。在本文中,我们主要讨论弱S-嵌入子群对群G超可解性的影响,得到了几个新的结果。

1 准备知识

引理1[2]设H为群的一个s-可换子群。则

(ii)如果H是一个p-群 (p为素数),则有NG(H)≥Op(G)。

引理2[10]假设P是群G的一个含于Op(G)的p-子群。如果P在G中S-可换嵌入,则P在G中S-可换。

引理3[9]设G为群且有H≤K≤G。

(ii)如果H在G中弱S-嵌入,则H在K中弱S-嵌入。

(iv)如果H在G中弱S-嵌入且K ⊿G,则存在G的一个含于K的正规子群T使得HT在G中S-可换且H∩T≤Hse。

引理4[9]设p为|G|的最小素因子且P为G的非循环Sylow p-子群。若P的每个在G中无超可解补的极大子群都在G中弱S-嵌入,则G为p-幂零群。

引理5[9]设N为G的非平凡正规p-子群。如果N的每个极大子群都在G中弱S-嵌入,则N有一个极大子群在G中正规。

2 主要定理及其证明

定理1 群G超可解当且仅当存在G的正规子群E使得G/E超可解,且E的非循环Sylow子群的每个在G中无超可解补的极大子群都在G中弱S-嵌入。

证明 必要性是明显的,我们只需要证明定理的充分性。假设结论不成立且G为使得|G||E|为极小的反例。则有

设p为|E|的最小素因子,P为E的 Sylow p-子群。如果P为循环群,则根据文 [11,Lemma 2.2]可知E为p-幂零群。若P非循环,令P1为P的一个在E中无超可解补的极大子群。易知,P1在G中也无超可解补。于是根据假设,P1在G中弱S-嵌入。由引理1知,P1在E中弱S-嵌入。因此由引理4可知E是p-幂零的。设K为E的正规p-补,则根据假设和引理3知K的非循环Sylow子群的每个在K中无超可解补的极大子群都在K中弱S-嵌入。于是反复使用上述证明可知E为超可解型Sylow塔群。特别地,E可解。令q=max π(|E|),Q∈Sylp(E)则有QG。

②G有唯一的一个含于E的极小正规子群N,G/N超可解且Φ(G)=1。

令N为G的一个含于E的极小正规子群。由E为可解群知,N为初等交换p-群,其中p为素数。显然,(G/N)/(E/N)≅G/N为超可解群。假设T/N为E/N的一个非循环的 Sylow r-子群且T1/N为T/N的极大子群,其中r为|E/N|的一个素因子。如果r=p,则T为E的非循环的 Sylow p-子群且T1为T的极大子群。根据假设,T1在G中有超可解补或T1在G中弱S-嵌入。根据引理2可知,T1/N在G/N中有超可解补或是T1/N在G/N中弱S-嵌入。现在假定r≠p。此时,存在E的Sylow r-子群R使得T=RN。令R1=R∩T1,则R1为R的极大子群且T1=R1N。根据假设,R1在G中有超可解补或是R1在G中弱S-嵌入。根据引理3(iii),T1/N在G/N中有超可解补或是T1/N在G/N中弱S-嵌入。这表明 (G/N,E/N)满足定理的条件。于是由G的极小性可设G/N为超可解群。由于所有超可解群构成一个饱和群系,我们可假定N为群G含于E的唯一极小正规子群且N ≤≠ Φ(G)。因此,Φ(G)=1。

③N=Q=F(E)=CE(N)非循环且 G=[N]M,其中M是G的一个极大子群。

由于Φ(G)=1,故存在G的极大子群M使得G= [N]M。由C=CE(N)=CG(N)∩EG。可知,(C∩M)G=(C∩M)NM=(C∩M)M=C∩M。于是C∩M是G的正规子群。从而C∩M=1有且C=N。由N≤Oq(E)≤F(E)≤F(G)≤CG(N)知,N=F(E)=Q。再根据②得,G/N超可解。如果N循环,则G为超可解群,矛盾。

④最终的矛盾。

设Mq为M的一个Sylow q-子群且Gq=NMq。由G=[N]M知,Gq为G的Sylow q-子群。令Q1为Gq的一个含于Mq的极大子群且N1=N∩Q1,则有N1Gq。由|N:N1|=|N:N∩Q1|=|NQ1:Q1|=|Gq:Q1|=q知,N1为N的极大子群。令T为N1在G中的任一补,则有G=N1T=NT且N=N∩N1T=N1(N∩T)成立。这表明N∩T≠1。由N∩=G且N为G的极小正规子群知,N∩T=N且T=G为N1在G中的唯一补。因此,可设N1在G中无超可解补。根据假设和引理3(iv)知,存在KG使得N1K≤E在G中S-可换且N1∩K≤(N1)se。由②知N∩K=1或N≤K。如果N∩K=1,则有N1=N1(N∩K)=N∩N1K。根据引理1(i)知,N1=N∩N1K在G中S-可换。如果N≤K,则有N1=N1∩N≤N1∩K≤(N1)se≤N1。这表明N1=(N1)se在G中是S-可换嵌入的。由引理2,我们也有N1在G中是S-可换的。于是,根据引理 1(ii)知,NG(N1)≥Oq(G)。另一方面,N1=N∩Q1⊿Gq。于是,N1G。从而有N1=1且|N|=q,这与③矛盾。因此,极小阶反例不存在,定理得证。

定理2 设F为包含所有超可解群类U的饱和群系。群G∈F当且仅当存在G的正规子群E使得G/E∈F,且E的非循环Sylow子群的每个在G中无超可解补的极大子群都在G中弱S-嵌入。

证明必要性是明显的,我们只需证明充分性。假设定理结论不成立且G是使得|G||E|极小的反例。

由于E/E=1超可解,且E的非循环Sylow子群的每个在E中无超可解补的极大子群都在E中是弱S-嵌入的。根据定理1可知,E为超可解群。于是对于p=max π(|E|)和p∈Sylp(E),我们有PG。现在,设N为群G含于P的一个极小正规子群。显然,(G/N)/(E/N)≅G/E∈F。根据引理3知,定理条件对于G/N和E/N仍成立。由G的极小性得G/N∈F。因为F为饱和群系,我们可设N是群G含于P的唯一极小正规子群且N≤≠Φ(G)。由定理1(3)中证明可知,N=Op(G)=P。如果N为循环群,则由文 [12,Lemma 2.16]知G∈F,这与群G的选取矛盾。因此我们可设N非循环。令N1为N的一个极大子群。通过使用一个与定理1中第④步类似的证明,我们可推出N为循环群从而有G∈F成立。

接下来,利用群G的某些极小子群的弱S-嵌入性质,我们也给出了群G属于饱和群系的一个充分条件。

定理3 设F为包含U的饱和群系,群G有一个正规子群E使得G/E∈F。假设对于E的每个非循环Sylow子群P均有:

(i)P的每个极大子群

(ii)P的每个素数阶及4阶 (如果P为非交换2-群且H⊆≠Z∞(G)循环子群H在G中弱S-嵌入,则G∈F。

证明假设定理不成立且我们考虑使得|G||E|极小的反例 (G,E)。设P为E的Sylow p-子群,其中 p=max π(|E|)。则有

①E为p-幂零群。

如果P的每个极大子群都在G中弱S-嵌入,则根据引理4,我们可知E为p-幂零群。接下来,我们假定P的每个素数阶和4阶 (如果P为非交换2-群且H⊆≠Z∞(G))循环子群H都在G中弱S-嵌入。根据引理3可知H在E中弱S-嵌入。令K为E的真子群且p0∈Sylp(E)。则存在某个x∈E使得Px0≤P。由于K p-幂零当且仅当Kxp-幂零。不失一般性,我们可假定P0≤P。由于Z∞(G)∩ K≤ Z∞(K),P0的每个素数阶和4阶(如果P0为非交换2-群且H⊆≠Z∞(G))循环子群H在K中弱S-嵌入。因此由归纳假设得K为p-幂零群。于是,E为极小非p-幂零群。根据文[13,IV,Theorem 5.4]知,E满足以下性质:

(i)E=[P]Q,其中P和Q分别是E的正规Sylow p-子群和非正规循环Sylow q-子群;(ii)P/Φ(P)为E的主因子;(iii)P的方次数是p或4。

令X/Φ(P)为P/Φ(P)的极小正规子群,则存在x∈X/Φ(P)使得X/Φ(P)=〈x〉Φ(P)/Φ(P)且|〈x〉|=p或4。根据假设知〈x〉⊆Z∞(E)或〈x〉在E中弱S-嵌入。在前一种情形下,我们有P∩Z∞(E)⊆≠Φ(P)成立。于是由 (ii)知,(P∩Z∞(E))Φ(P)=P从而P≤Z∞(E)。但此时E为幂零群,矛盾。

现假定〈x〉在E中弱S-嵌入。根据引理3(iv)知,存在E的S-可换子群C和正规子群T使得〈x〉T=C≤P并且T∩〈x〉≤〈x〉se。如果X/Φ(P)在 E/Φ(P)中 S-可换,则容易得到X/Φ(P)在E/Φ(P)中正规。再由 P/Φ(P)是 E的主因子得P/Φ(P)=X/Φ(P)为循环群。因此,P循环且E为p-幂零群。此矛盾表明X/Φ(P)在E/Φ(P)中不是S-可换的。于是,〈x〉在E中也不是S-可换的。而根据引理2知〈x〉se在E中S-可换,于是我们有1<T<P。这表明TΦ(P)≠P,从而有T≤Φ(P)。但此时

为E/Φ(P)的S-可换子群。这个矛盾表明论断①成立。

②E=P是非循环的。

由①知,E为p-幂零群。假设P<E且T为E的正规p-补,则TG。由引理3,我们可知定理假设对于G/T(相对于E/T)仍成立。因此,由G的选取知G/T∈F。于是,定理假设对于 (G,T)仍成立。再由 (G,E)的选取知T=E,矛盾。因为G/E∈F,根据 [12,Lemma 2.16]我们可设P是非循环的。

③如果P的每个极大子群都在G中弱S-嵌入,则P=GF是G的极小正规子群。

事实上,设N为群G的一个含于P的极小正规子群。根据引理3知,假设对于G/N仍成立。从而由G的选取知,G/N∈F。因此可设N为群G含于P的唯一极小正规子群且N⊆≠Φ(G)。令M为群G的一个使得G=[N]M成立的极大子群,则P=P∩NM=N(P∩M)。由P≤F(G)≤CG(N)知P∩M为G的正规子群,从而P∩M=1。于是,我们有N=P=GF成立。

④最终的矛盾。

如果P的每个极大子群都在G中弱S-嵌入,则由②和③知P是G的极小正规子群且|P|>p,这与引理5相矛盾。

接下来,我们假定P的每个素数阶和4阶(如果P为非交换2-群且H⊆≠Z∞(G))循环子群H在G中弱S-嵌入。根据 (G,E)的选取可设P=GF且P≤≠Φ(G)。令M为群G的一个不包含P的极大子群,则有M/M∩P≅G/P∈F。根据引理3知,假设对于M仍成立。因此,由G的极小性得M∈F。这表明G的每个不含P的极大子群都属于群系 F。于是根据文 [14,Theorem 3.4.2]知,下列结论成立:

(i)P/Φ(P)为P的G-主因子;

(ii)P的方次数为p或4(若p=2且P非循环);

(iii)如果P为交换群,则有Φ(P)=1。

如果P/Φ(P)的每个极小子群都在G/Φ(P)中S-可换,则P/Φ(P)的每个极大子群也都在G/Φ(P)中 S-可换。因此根据引理 5知,|P/Φ(P)|=p,这与②矛盾。现在我们选取P/Φ(P)的一个在G/Φ(P)中非S-可换的极小子群X/Φ(P)。任取x∈X/Φ(P)且令L=〈x〉,则有|L|=p或4。根据假设知L⊆Z∞(G)或L在G中弱 S-嵌入。如果 L⊆ Z∞(G),则有 P∩Z∞(G)≤≠Φ(P)。于是,(P∩Z∞(G))Φ(P)=P,即P≤Z∞(G)。因此,我们可得=p且P为循环群,这与②矛盾。下面我们假定L在G中弱S-嵌入。由于X/Φ(P)在G/Φ(P)中不是S-可换的,L在G中非S-可换。因此根据引理3(iv),存在G的一个含于P的非平凡正规子群T使得LT在G中S-可换且T∩L≤Lse=LsG≠L。显然,T≠P。因此,TΦ(P)≠P,即T≤Φ(P)。此时,我们有

X/Φ(P)=LΦ(P)/Φ(P)=LTΦ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是S-可换的。这个矛盾表明极小反例不存在,从而定理得证。

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