交叉积的有限表现维数*

沈炳良，刘 玲

(1.上海财经大学浙江学院 公共基础教育部，浙江 金华 321013;2.浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

0 引言

Blattner 等［1-2］在1986 年分别独立地把群上交叉积的理论推广到Hopf 代数，定义并研究了Hopf 代数上的交叉积.交叉积作为Smash 积的推广，在Hopf 代数的扩张理论中起着重要的作用:带有可逆余循环的交叉积即为Cleft 扩张［2-3］，且利用交叉积，可构造新的Hopf 代数.文献［4］对Cleft 扩张下的表示型和Nakayama 性质进行了研究.

同调代数是代数学的一个重要分支，它的兴起对群、李代数与结合代数的研究起了非常重要的作用.其中，环的同调维数是近代环论中的一个重要的研究领域.自20 世纪60 年代以来，同调维数一直是环论研究的重要课题，特别是非交换环的同调维数的研究极大地丰富和发展了同调代数理论，它的理论和方法对代数学和其他相关学科的研究起着重要作用.

本文主要探讨Hopf 代数上的交叉积A#σH 和其子代数A 之间的有限表现维数的关系，并且研究交叉积A#σH 成为n-Gorenstein 代数的条件.

1 基本定义

本文中，k 表示一个固定的域，所有的工作将在k 上进行;⊗和Hom 分别表示为⊗k和Homk;对于代数A，其左A-模范畴记为A-Mod;对于左A-模M，其内射维数记为inj.dim M.

首先回顾交叉积的定义.若存在k-线性映射H⊗A→A，记为h⊗a|→h·a，使得

则称Hopf 代数H 可测量代数A;若存在映射τ∈Hom(H⊗H，A)，使得

则称映射σ∈Hom(H⊗H，A)是卷积可逆的.

设H 为Hopf 代数，A 为代数，且H 可测量代数A，σ 是卷积可逆的.A 与H 的交叉积A#σH 定义为:作为向量空间时为A⊗H，并带有以下乘法:

其中:∀h，k∈H;a，b∈A.这里张量积a⊗h 记为a#σh.

引理1［1-2］A#σH 为带有单位元的结合代数当且仅当以下条件成立:

1)A 是扭曲H-模，即1·a=a，∀a∈A，且

2)σ 是余循环，即σ(h，1)=σ(1，h)=ε(h)1，∀h∈H，且

注意:若σ 是平凡的，即σ(h，k)=ε(h)ε(k)1，∀h，k∈H，则1)可简化为A 是H-模;2)是平凡的.此时，A 为左H-模代数.故交叉积简化为Smash 积［5］.

Ho［6］于1984 年定义了一种新的同调维数——有限表现维数.

定义1［6］设A 是环，M 是左A-模.记M 的有限表现维数为f.p.dim M，并定义为

称达到下确界的(*)正合列为M 的有限表现分解.若对任意自然数n，没有正合列(*)，则规定f.p.dim M=∞.

定义2［6］设A 是环.A 的有限表现维数，记作f.p.dim A，定义

由定义1 知，左A-模M 是有限表现的⇐⇒f.p.dim M=0，且f.p.dim A=0⇐⇒A 是Noether 环.因此，有限表现维数可以度量任意模与有限表现模的差距，也可以度量任意环与Noether 环的差距.值得注意的是，环的有限表现维数可能比其整体维数小得多.例如Z4，其理想(2)的投射维数为∞，故整体维数为∞.但Z4是Noether 环，故其有限表现维数为0.

2 A#σH 的有限表现维数

接下来将探讨交叉积A#σH 和其子代数A 之间的有限表现维数的关系.

考虑以下2 个函子:

其中:A#σH 的右A-模结构是其乘法，即(a#σh)·b=(a#σh)(b#σ1H);A(-)是限制函子.

引理2 设H 是有限维Hopf 代数，A#σH 为交叉积，则(A#σH⊗A-，A(-))和(A(-)，A#σH⊗A-)都为伴随对.

证明 由伴随结构定理知，(A#σH⊗A-，A(-))为伴随对.因为A #σH/A 是右H-Galois 扩张［3］，所以由文献［7］中的定理9 知，(A(-)，A#σH⊗A-)也为伴随对.引理2 证毕.

注1 设(F，G)为Abel 范畴间的伴随对.若G 是正合的，则F 保持投射对象;若F 是正合的，则G保持内射对象.因A #σH 作为左右A-模都是有限生成自由的，故函子A#σH⊗A-和A(-)都是正合的，从而它们保持投射对象和内射对象.

引理3 设H 是有限维Hopf 代数，A#σH 为交叉积，则

1)对任意左A#σH-模M，f.p.dimAM≤f.p.dimA#σHM;

2)对任意左A-模M，f.p.dimA#σH(A#σH)⊗AM≤f.p.dimAM.

证明 1)直接由注1 可得.

2)不妨假设f.p.dimAM=n ＜∞.设

为AM 的有限表现分解，则由注1 得

是正合的.其中每个(A#σH)⊗APi都是投射A#σH-模，且显然(A#σH)⊗APn+1，(A#σH)⊗APn是有限生成的.由此可得f.p.dimA#σH(A#σH)⊗AM≤n.引理3 证毕.

引理4［4］设H 是有限维半单Hopf 代数，A#σH 为交叉积，则对任意左A#σH-模M，M 为(A#σH)⊗AM 的A#σH-直和项.

命题1 设H 是有限维半单Hopf 代数，A#σH 为交叉积，则对任意左A#σH-模M，f.p.dimAM=f.p.dimA#σHM.

证明 由引理3 知，f.p.dimAM≤f.p.dimA#σHM.反之，因H 是有限维半单Hopf 代数，故由引理4知，M 为(A#σH)⊗AM 的A#σH-直和项，由此易知f.p.dimA#σHM≤f.p.dimA#σH(A#σH)⊗AM.再由引理3知，f.p.dimA#σH(A#σH)⊗AM≤f.p.dimAM，可得f.p.dimA#σHM≤f.p.dimAM.命题1 证毕.

由命题1 可直接得出本节的主要结果:

定理1 设H 是有限维半单Hopf 代数，A#σH 为交叉积，则f.p.dim A#σH≤f.p.dim A.

因Smash 积为交叉积的一种特殊情况，故有以下推论:

推论1 设H 是有限维半单Hopf 代数，A#H 为Smash 积，则f.p.dim A#H≤f.p.dim A.

3 n-Gorenstein 代数A#σH

本节将讨论交叉积A#σH 成为n-Gorenstein 代数的条件.

首先回顾n-Gorenstein 代数的定义.设R 是环，若它是左右Noether 环，且其左右正则模的内射维数有限，即inj.dimRR ＜∞，inj.dim RR＜∞，则称R 为Gorenstein 环.设R 是一个Gorenstein 环，若inj.dimRR≤n(此时inj.dim RR≤n)，则称R 为n-Gorenstein 的.一个代数若作为环是Gorenstein 的，则称此代数为Gorenstein 代数［8］.

定理2 设H 是有限维Hopf 代数，A#σH 为交叉积，则A#σH 为n-Gorenstein 代数当且仅当A 也为n-Gorenstein代数.

证明 因为A#σH 为有限生成A-模，故若A 是左Noether 的，则A#σH 也是左Noether 的.反之，因A#σH可通过以下作用为左H*-模代数:

所以就有Smash 积代数(A#σH)#H*.从而，如果A#σH 是左Noether 的，那么(A#σH)#H*显然也是左Noether 的.由Blattner-Montgomery 对偶定理［3］知，(A#σH)#H*≅Mn(A)，这里dim H=n.因此，它与A 是Morita 等价的，从而A 也是左Noether 的.

类似可证A 是右Noether 的当且仅当A#σH 也是右Noether 的.

因A#σH 为自由A-模，故可得inj.dimAA=inj.dimAA#σH≤inj.dimA#σHA#σH.

下证inj.dimA#σHA#σH≤inj.dimAA.不妨设inj.dimAA=n ＜∞，且

为左正则模AA 的长为n 的内射分解.由注1 知，序列

为(A#σH)⊗AA 作为左A#σH-模的一个内射分解.又因有左A#σH-模同构:(A#σH)⊗AA≅A#σH，从而

类似可证inj.dim A#σHA#σH=inj.dim AA.定理2 证毕.

在代数学中，有著名的Gorenstein 对称猜想［9］仍未解决.

Gorenstein 对称猜想(Gorenstein Symmetric Conjecture):设A 为Artin 代数(有限维代数).若inj.dimAA有限，则inj.dim AA亦有限.

由定理2 立得以下推论:

推论2 设H 是有限维Hopf 代数，A#σH 为交叉积，则Gorenstein 对称猜想对A#σH 成立当且仅当Gorenstein 对称猜想对A 也成立.

［1］Blattner R，Cohen M，Montgomery S.Crossed product and inner actions of Hopf algebras［J］.Trans Amer Math Soc，1986，298(2):671-711.

［2］Doi Y，Takeuchi M.Cleft comodule algebras for a bialgebra［J］.Comm Algebra，1986，14(5):801-817.

［3］Blattner R，Montgomery S.Crossed product and Galois extensions of Hopf algebras［J］.Pacific J Math，1989，137(1):37-53.

［4］Li Fang，Zhang Mianmian.Invariant properties of representations under cleft extensions［J］.Sci China Ser A，2007，50(1):121-131.

［5］Montgomery S.Hopf algebras and their actions on rings［M］.New York:Amer Math Soc，1993:101-123.

［6］Ho K.Finitely presented dimension of commutative rings and modules［J］.Pacific J Math，1984，113(2):417-431.

［7］Doi Y.Hopf extensions of algebras and Maschke type theorems［J］.Israel J Math，1990，72(1):99-108.

［8］Enochs E E，Jenda O M G.Relative homological algebra［M］.Berlin:Walter De Gruyter Co，2000:152-180.

［9］Auslander M，Reiten I，SmalØ S O.Representation theory of Artin algebras［M］.Cambridge:Cambridge Univ Press，1995:115-180.