边界耦合Newton渗流方程组的临界曲线

杜润梅, 张玉娟, 祝英杰

(1. 吉林大学 数学研究所, 长春 130012; 2. 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所, 长春 130033; 3. 长春大学 理学院, 长春 130022)

0 引 言

考虑如下系统:

其中: 01;α,β>0,u0(x),v0(x)是非负的、 适当光滑的、 具有紧支集的有界函数, 并且满足适当的兼容性条件.

基于Fujita[1]的工作, 关于扩散方程的临界Fujita指标问题已得到广泛关注和研究[2-8]. Ferreira等[4]考虑了带有非线性边界源的快扩散问题:

其中: 0

1) 如果0

2) 如果p0

3) 如果p>pc, 则初值较小时的解是全局存在的, 初值较大时的解在有限时间内爆破.

本文主要研究系统(1)-(3)解的长时间行为, 即临界全局存在性曲线和临界Fujita曲线的问题.

1 主要结果

命题1假设α<(m+1)/2,β<(n+1)/2. 如果pq≤(m+1-2α)(n+1-2β)/4, 则系统(1)-(3)的所有非负非平凡解都是全局存在的.

证明: 对于(x,t)∈(1,+∞)×(0,T), 定义

命题2假设α<(m+1)/2,β<(n+1)/2. 如果pq>(m+1-2α)(n+1-2β)/4, 则当初值较大时, 系统(1)-(3)的非负解在有限时间内爆破.

证明: 设

其中:T>0;

假设f1,f2是满足如下条件的函数:

f1(η1),f2(η2)≥0,f1(η1)′,f2(η2)′≤0,f1(η1)″,f2(η2)″≥0,η1,η2≥0.

(4)

经过计算可知, 如果不等式组:

(5)

(6)

(7)

(8)

下面构造满足式(4)～(8)的函数f1,f2. 选取

(9)

(10)

其中00是待定常数. 显然,f1,f2满足条件(4). 下面证明f1,f2满足式(5)～(8). 先说明式(5)成立. 当η1≥A1/B1时,f1=0显然成立. 当0<η1

即

(11)

将式(9),(10)代入式(7),(8), 可得

(12)

(13)

由于pq>(m+1-2α)(n+1-2β)/4, 并注意到0

由此可得不等式(12)和(13).

注1假设α<(m+1)/2,β<(n+1)/2. 由命题1和命题2知, 系统(1)-(3)的临界全局存在性曲线是pq=(m+1-2α)(n+1-2β)/4.

命题3如果pq≠(m-α)(n-β), 则当初值较小时, 系统(1)-(3)的每个非负非平凡解都是全局存在的.

证明: 定义

其中:

B1=(λ1-1)m(n-β)/(pq-(m-α)(n-β))(λ2-1)mp/(pq-(m-α)(n-β));

B2=(λ1-1)nq/(pq-(m-α)(n-β))(λ2-1)(m-α)n/(pq-(m-α)(n-β)).

通过简单计算可知:

由命题1～命题3可得:

定理1表明当pq<(m+1-2α)(n+1-2β)/4时, 系统(1)-(3)的非负非平凡解都是全局存在的; 当pq>(m+1-2α)(n+1-2β)/4时, 系统(1)-(3)的非负非平凡解当初值较小时是全局存在的, 当初值较大时在有限时间内爆破.

定理2假设α>(m+1)/2或β>(n+1)/2, 则系统(1)-(3)的解当初值较大时在有限时间内爆破.

考虑问题:

容易验证(w,v0)是系统(1)-(3)的下解. 由文献[6]中命题2.3知, (w,v0)对大初值在有限时间内爆破. 因此, 系统(1)-(3)的解(u,v)也会在有限时间……