广义P-平坦性和广义P-内射性的一些刻画

王修建,杜先能

(1.皖西学院 应用数学学院,安徽 六安 237012;2.安徽大学 数学科学学院,合肥 230600)

1 GP-内射环、 GPP-环和GPF-环

定义1[1]如果R作为左R-模是GP-内射的,则称环R为左GP-内射环.

定理1对于环R,下述结论等价：1)R是左GP-内射环;2) 对任意的a∈R,存在正整数n,使得anR=rRlR(an);3) 对任意的a,b∈R,如果lR(an)⊆lR(bn),则bnR⊆anR;4) 对任意的a,b∈R,存在一正整数n,使得rR(Rbn∩lR(an))=rR(bn)+anR.

证明: 1)⟺2)显然.

2)⟹3).如果lR(an)⊆lR(bn),则bn⊆rRlR(an),故由2)知bn∈anR,因此bnR⊆anR.

3)⟹4).对于任意的a,b∈R,rR(Rbn∩lR(an))⊇rR(bn)+anR显然.反之,如果x∈rR(Rbn∩lR(an)),则Rbn∩lR(an)⊆lR(x);如果y∈lR(bnan),则ybnan=0,因此ybn∈lR(an),即ybn∈Rbn∩lR(an)⊆lR(x),从而y∈lR(bnx)(即证lR(bnan)⊆lR(bnx)).由3)知存在r∈R,使得bnx=bnanr,因此x-anr∈rR(bn),即证x∈rR(bn)+anR.又由x的任意性知,rR(Rbn∩lR(an))⊆rR(bn)+anR.

4)⟹2).令b=1即可证结论.

定义2[1]如果对于任意的a∈R,存在一个正整数n(依赖于a),使得Ran是投射的,则称环R为左GPP-环;如果对于任意的a∈R,存在一个正整数n(依赖于a),使得Ran是平坦的,则称环R为左GPF-环.显然,左GPF环是左GPP-环和左PF-环的推广.

定理2对于环R,下述结论等价：1)R为左GPP环； 2) 任意GP-内射左R-模的商模是GP-内射的； 3) 任意P-内射左R-模的商模是GP-内射的； 4) 任意内射左R-模的商模是GP-内射的； 5) 对于任意的左R-模M,都有E(M)/M是GP-内射的,其中E(M)为M的内射包.

证明: 1)⟹2).设M是任意GP-内射左R-模且N为M的一个子模,下证M/N是GP-内射的.事实上,设a∈R,则由1)知存在正整数n,使得Ran是投射的.令i:Ran→R是嵌入映射,π:M→M/N是典范映射,则对任意映射f:Ran→M/N,都有映射g:Ran→M,使得πg=f.既然M是GP-内射的,因此存在h:R→M,使得hi=g,所以(πh)i=f,即M/N是GP-内射的.

2)⟹3),3)⟹4)和4)⟹5)显然.4)⟹1)参见文献[1]中定理3.2.

5)⟹4).对任意的左R-模M,设L→M→0是正合列,其中L是内射的,则存在一个正合列0→M′→L→M→0,因为L是内射左R-模,所以0→E(M′)→L是正合的,从而可得L=E(M′)⊕L′,其中L′是内射左R-模.于是可得

M≅L/M′≅(E(M′)⊕L′)/M′≅E(M′)/M′⊕L′.

由5)知E(M′)/M′是GP-内射的,而L′是内射的,从而为P-内射的,故由文献[1]中命题2.3知M是GP-内射的,即任意内射左R-模的商模都是GP-内射的.

定理3设R是环,下述结论等价：1)R是左GPF-环；……