一类渐近线性波方程的非平凡时间周期解

常小军,路京京

(1. 吉林大学 数学学院,长春 130012;2. 吉林大学 金融学院,长春 130012)

0 引 言

考虑如下非线性波方程:

(1)

其中f∈C([0,π]×R2,R)且f关于t是2π-周期的.

记‖·‖r为空间Lr(Q)(r∈[1,∞))中范数,(·,·)r为相应的内积. 定义Banach空间

其上的范数为

显然,E具有分解E=E-⊕E0⊕E+. 定义E上的对偶

其中

定义作用泛函Φ:E→ R,

(2)

由(2)可得Φ∈C1(E,R). 显然,Φ是强不定的泛函,并且Φ的临界点对应于式(1)的弱解,即

(3)

令X={u∈E:u(t,x)=u(π+t,π-x)},则X是E的闭子空间且X∩Ker□={0}. 显然,X紧嵌入到Lr(R)(∀r≥1),且X在□及f的作用下是不变的. 因此Φ|X的临界点即为Φ的临界点. 不妨记Φ|X为Φ,X+=X∩E+,X-=X∩E-,则有X=X-⊕X+. 在X上定义范数‖u‖X≐‖u‖E. 显然,X是Banach空间,将其记为 ‖·‖. 重排□的特征值: …≤λ-,3≤λ-,2≤λ-,1<0<λ+,1≤λ+,2≤λ+,3≤…,相应的特征函数分别记为ψ-,i,ψ+,k,i,k∈Z+.

1 主要结果

定理1假设下面条件满足,则问题(1)存在非平凡弱解:

1) 存在a1,a2>0,使得对于一致的(t,x)∈Q,有|f(t,x,s)|≤a1|s|+a2,∀s∈R;

5)f(t,x,s)=f(π+t,π-x,s),∀(t,x,s)∈Q×R.

注1由于波算子□的核空间是无穷维的,通常要求f(t,x,s)关于s是单调函数. Coron[11]通过引入取不变子空间的技巧在不要求f单调的情形下研究了问题(1). 本文结合Coron的技巧研究问题(1),因此不要求f满足单调性条件. 此外,这里不要求比率f(t,x,s)/s在s充分大时有极限,并且不要求f在无穷远处满足共振或非共振条件,从而f(t,x,s)/s在s充分大时可能跨越波算子□的多个特征值.

注2Costa等[12]在如下非二次条件下,结合定理1中的条件2),3)研究了问题(1)非平凡弱解的存在性:

关于 a.e. (t,x)∈Q一致成立,

且有

关于 a.e. (t,x)∈Q一致成立,

或

关于a.e. (t,x)∈Q一致成立.

显然定理1的条件4)弱于非二次条件.

下面应用强不定泛函的临界点理论证明定理1. 类似于文献[12]中定理2.10的证明,只需证明泛函Φ有鞍点结构并且满足(C)c条件. 证明分两个步骤: 泛函Φ有鞍点结构和泛函Φ满足紧性条件.

引理1在定理1的假设下,泛函Φ有鞍点……