具有2n个解的绝对值方程问题

雍龙泉,刘三阳,拓守恒,熊文涛,史加荣

(1. 西安电子科技大学 应用数学系,西安 710071;2. 陕西理工学院 数学与计算机科学学院,陕西 汉中 723001;3. 湖北工程学院 数学与统计学院,湖北 孝感 432000;4. 西安建筑科技大学 理学院,西安 710055)

0 引言与预备知识

考虑问题:

Ax-|x|=b,

(1)

其中:A∈Rn×n;x,b∈Rn;|x|表示对x的各分量取绝对值. 问题(1)称为绝对值方程(absolute value equations,AVE),它是文献[1]提出的绝对值矩阵方程Ax+B|x|=b的重要子类.

关于AVE的研究主要源于两方面：一是区间线性方程[1-2];二是线性互补问题. 目前对于AVE的研究主要集中于理论[3-12]和算法[13-35]两方面,前者主要研究解的存在性和唯一性;后者主要建立有效的算法并分析算法的收敛性. 本文给出了AVE问题解存在的条件,构造了一些具有2n个解的AVE问题,并指出了求解多解绝对值方程应注意的问题.

考虑Ax-|x|=b,若令A=I,b=0,则任意的x≥0都是AVE问题的解,此时AVE问题具有无穷多个解.

定理1[3]对AVE问题,若存在r∈Rn满足r≥ATr≥-r,bTr>0,则AVE无解.

定理2[3]若0≠b≥0,且‖A‖<1,则AVE无解.

定理3[3]如果A的特征值不为1,并且A的奇异值大于或等于1,则当集合

{x|(A+I)x-b≥0,(A-I)x-b≥0}≠Ø

时,AVE问题的解存在.

定理4[3]若矩阵A的奇异值大于1,则对任意的b∈Rn,AVE存在唯一解.

推论1[3]对任意的b,如果‖A-1‖<1,则AVE存在唯一解.

定理5[3]如果A≥0,‖A‖<1,b≤0,则AVE存在非负解.

如果区间矩阵[A-I,A+I]正则,则对于任意的b∈Rn,AVE有唯一解[9-10]. 该条件弱于矩阵A的奇异值大于1. 事实上,该条件恰好是文献[7]的特例.

1 2n个解存在的条件

证明: 分两步.

1) 证明在满足上述条件下,方程Ax-x=b有唯一的正解x*.

构造迭代过程xk+1=Axk-b,由于‖A‖∞<γ/2≤0.5<1,从而对于任意给定的初始点x0,迭代产生的序列{xk}都收敛,假设收敛点为x*,则x*唯一.

不妨取x0=-b,由于xk+1=Axk-b,则

从而

于是

‖xk+1-xk‖∞<(γ/2)k+1‖b‖∞,k=0,1,2,…

又由于

结合x0=-b,则有

2) 证明满足条件的AVE问题有2n个解.

先证明矩阵(AD-I)是可逆的. 反之,则齐次线性方程组(AD-I)x=0存在非零……