非欧空间中n维Neuberg-Pedoe不等式

杨世国,孙玉婷,卞 革

(1. 合肥师范学院 教师教育研究中心,合肥 230061;2. 安徽新华学院,合肥 230088;3. 安徽大学 数学科学学院,合肥 230039)

0 引 言

定义1[11]双曲空间Hn(-1)中n维单形Bn的n维体积为满足下式的非负实数V:

(1)

定义2[11]球面空间Sn(1)中n维单形An的n维体积V为满足下式的最小非负实数:

(2)

1 主要结果

引理1对双曲空间Hn(-1)中n维单形Bn,有

(3)

当Bn为正则单形时等号成立.

证明：引用文献[9]中不等式:

(4)

当Bn为正则单形时等号成立.

由不等式(4)与算术几何平均不等式即得不等式(3).

引理2对双曲空间Hn(-1)中n维单形Bn,有

(k!Mk)1/k≥(l!Ml)1/l, 1≤k

(5)

当Bn为正则单形时等号成立.

证明：设单形Bn任意k维子单形的k维体积为Vi(k),其各侧面(k-1维子单形)的k-1维体积为V(i)j(k-1)(j=1,2,…,k+1),应用引理1有

即

(6)

即

(k!Mk)1/k≤[(k-1)!Mk-1]1/(k-1).

(7)

由递推式(7)立即可得不等式(6),易知当Bn为正则单形时式(5)中等号成立.

引理3[12]对球面空间Sn(1)中n维单形An,有

(k!Nk)1/k≤(l!Nl)1/l, 1≤k

(8)

当An为正则单形时等号成立.

在不等式(5)中取l=n,k=1,可得如下n维双曲单形不等式：

(9)

在不等式(8)中取l=n,k=1,可得如下n维球面单形不等式：

(10)

引理4[9]对双曲空间Hn(-1)中n维单形Bn,θ∈(0,1],有

(11)

当Bn为正则单形时等号成立.

引理5[9]对球面空间Sn(1)中n维单形An,θ∈(0,1],有

(12)

当An为正则单形时等号成立.

特别地,在引理4中取n=2,对Hn(-1)中2维单形B2(三角形),有

(13)

在引理5中取n=2,对Sn(1)中2维单形A2(三角形),有

(14)

引理6对双曲空间Hn(-1)中n维单形Bn,θ∈(0,1],γ∈[2,n],有

(15)

当Bn为正则单形时等号成立.

证明：

其中:

Γ1={(i1,i2,i3);bi1,bi2,bi3为Bn一个2维子单形(三角形)的三边};

Γ2={(ip,iq);bip与biq不同为An一个2维子单形(三角形)的二边}.

设集合S的元素数为|S|,则可知

将式(16)右端第一～三项分别记为σ1,σ2,σ3,利用不等式(13)、 算术-几何平均不等式及式(9),得

所以

即不等式(15)成立.

引理7对球面空间Sn(1)中n维单形An,θ∈(0,1],有……