案例教学在高等数学教学中的应用

陈永鹏

【摘 要】在应用型人才的培养过程中， 案例教学有着极其重要的作用。尤其在高等数学的教学中，案例教学法能更好地培养学生发现、分析和解决实际问题的能力。在课堂中如何运用好案例教学值得我们探讨。

【关键词】案例教学；高等数学

所谓案例教学， 就是教育者根据一定的教育目的， 以案例为基本教学材料， 将学习者引进教育实践的情境中， 通过师生之间、学生之间的多向互动、平等对话和积极研讨等形式， 提高学习者面对复杂教学情境的决策能力和行动能力的一系列教学方式的总和。。

案例教学真正作为一种教学方法的形成和运用发生于20世纪初美国哈佛大学的医学院和法学院，之后案例教学法开始被应用于管理课程的教学中，在哈佛大学高年级的综合性管理课程中，有些教授甚至把案例教学作为主要的教学方法。随着案例教学法在法学、军事学、社会学和教育学等各个领域各个学科教学中的广泛应用，其内容、方法和经验也越来越丰富和完善。尤其是哈佛大学商学院案例教学法的成功运用和实施，培养出了大批杰出的工商界人才，使得案例教学法成为一种风靡全球的、被认为是代表未来教育方向的先进教学模式。

高等数学是工科，理科，经管类各专业核心课程之一， 是最重要的一门基础课， 对各专业后续课程的学习有着至关重要的作用. 但由于高等数学的抽象性和逻辑性使许多大学生对它望而却步， 加上高等数学研究问题的手法与初等数学不同， 使许多学生不易入门，从而学生对学习高等数学的兴趣大大降低。要激发学生对高等数学的学习兴趣，关键要做到两点，一是很自然的引进一些数学概念，最好从平时生活中找到概念的原型；二是要知道数学中的基本概念，定理在现实中怎么用。而案例教学就强调了这两点在教学中的应用。所以在在教学过程中适当地引入与课堂知识相关的简单“数学模型案例”，是行之有效的方法。

案例教学法在高等数学的教学中主要有以下几个步骤。

1. 提出问题。在引进某个概念的时候，一定先从一个简单的例子入手，这样不会使概念出来的太突兀。从案例入手提出的概念，使之成为有源之水，接受起来很自然，对概念理解也相对深刻。例如在讲定积分的定义的时候，我们可以先从如何求由连续曲线， 围成的曲边梯形的面积入手。

2. 分析问题。如何求曲边梯形的面积没有现成的公式可用，这是一个未知的问题，如何把这样的问题转化为已知的问题，是问题的关键。我们知道，矩形的面积是底乘以高，而曲边梯形与矩形的区别在于高的变化。如果我们把底分成一些小区间，得到一些小曲边梯形，可以近似看成小矩形，从而算出面积近似值。分割越细，则近似值与真实值越接近，从而可以通过极限求出曲边梯形的面积。

3. 解决问题。分析完问题以后，引进相应的数学符号。从而可以得到曲边梯形面积的表达式为 这是通过一个例子给出了定积分的定义，还要把具体问题中的定义一般化。

4. 问题一般化。再举出一个求路程的问题，其求解思路与求面积一样，把求解过程一般化，就可以得到定积分的定义。

5.应用。给出定积分的定义以后，可以看一下定积分的应用，例如如何用定积分求经济问题中的收益流的现值与将来值，如何用定积分求解物理中的变力做功问题，液体压力问题等等。

在讲授高等数学中的经典的定理的时候也可以运用案例教学，用得好的话，可以使定理生动形象，会给学生留下深刻印象，例如我们在讲授零点存在性定理的时候就可以很好的利用案例教学法。

1.提出问题。对任意给定的一个凸多边形，能不能找到一条直线，把这个凸多边形分成面积相等的两部分。

2.分析问题。刚看到这个问题的时候觉着无从下手，我们可以先考虑正方形，正方形是可以做到的。做一条平行于两对边的直线，直线从一边开始平行移动，直线左边的面积，由零逐渐变大，到一半的位置时，直线左边的面积与右边的面积相等，再继续移动的话，左边的面积逐渐变大，最后变成整个正方形的面积，而直线右边的面积是相反的过程。我们把这两个面积相减，当差为零时，则直线平分正方形的面积。类似的想法用到上述问题中，考虑一条竖直直线从左至右扫过整个凸多边形，则凸多边形位于直线左边的那部分面积由0 逐渐增大为整个凸多边形的面积，直线右侧的面积则由最初的整个凸多边形的面积逐渐变为0。它们的面积差有负数变成正数，则应该存在一个点，使面积差为零，也就是存在一条直线平分凸多边形。

3.解决问题。引进相应的数学符号，若把直线左侧的面积记为，直线右侧的面积记为，则随着直线位置x在一个区间[a，b]内变化，的值由一个负数连续地变为了一个正数，它一定经过了一个零点，则在某一时刻一定有。

4.问题一般化。经过分析，上述问题就转化为一个连续函数在有限闭区间上连续，且该函数在两端点的函数值相反，则该函数在闭区间内部有零点。利用介值定理我们可以证明出该定理。

5.应用。给出该定理以后，可以利用它来证明方程解的存在性，这些理论上的东西。还可以和实际生活联系起来，例如一块边界形状任意的蛋糕，若在蛋糕上取一点，能否过这点切一刀，使切下的2 块蛋糕面积相等？这些看似和数学毫无关系的实例，就这样通过数学建模的手段转化为零点存在定理来解决，从而被当堂所讲的知识轻而易举地解决了。

在高等数学中案例教学的优点可以体会到以下几点。

1.运用案例教学，能很自然引进数学概念，可以使抽象的数学概念具体化，使学生理解的概念是活生生的例子，从而使学习高数的门槛降低，有利于激发学生的学习兴趣，进而有利于学生理解概念的本质。

2. 运用案例教学，能使学生知道数学概念与数学定理在现实生活、工作中如何应用。举一些学生所熟悉的案例， 给学生造成身临其境的感觉， 加深感性认识。引导学生理论与实际的联系中去理解知识， 并运用知识去分析问题和解决问题， 使学生在一定程度上感觉到数学知识的用途，从而可以激发学生的学习兴趣，为进一步学习，打下良好的基础。

3.使用好案例教学，要求教师要有扎实的理论功底和丰富的实践经验，这就需要老师在课下好好准备案例，多想想如何把数学概念应用到实际问题中去，从而可以提高老师自身的素养。从而达到教学互动、教学相长的效果。

4.案例教学的应用为后续课程的学习能起到良好的很好的铺垫作用，为专任老师更好的上专业课打下良好的基础。例如在运筹学中有最优订购模型时，我们在高数中的极值问题中就可以顺便讲这个模型，得到经济批量公式。知道这个模型的处理方式后，在运筹学中讲解其他相似的模型的时候就非常方便，学生接受起来就很容易。

5. 案例教学有利于培养良好的师生关系，在传统的教学方式下， 教师在课堂上讲课，学生坐在下面听，记笔记，很少有交流与沟通。从而使老师与学生之间有隔阂，学生害怕与老师交流，不利于老师教学与学生的学习。而实行案例教学， 意味着师生之间有了更多的交流， 意味着每个人都有发表自己观点、见解的机会和权利。这样必然有助于培养一种互相尊重， 民主平等的新型师生关系， 而这种新型师生关系的形成反过来会进一步促进教学工作朝良性循环发展。

参考文献：

[1] 姜大源. 职业教育学研究新论[M]. 北京： 教育科学出版社。

[2] 李春丽. 案例教学法在“概率论与数理统计”教学中的运用[J]. 中国电力教育， 第237期：83-84.

[3] 蒋国强. 高等数学[M]. 北京：机械工业出版社。