Gauss多项式环的理想和商环＊

郭红红，刘 东

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州313000）

0 引 言

整数环ℤ 与数域F上的多项式环是两类最重要且应用最广的环，这是因为这两类环上有所谓整除的概念.近年来，许多论文研究了理想和商环［1～2］，但关于Gauss多项式环ℚ［x，i］＝｛f（x）＋g（x）i∶f（x），g（x）∈ℚ［x］｝的理想和商环的相关研究却很少.本文在Gauss整环理想和商环一般结构的基础上，主要讨论了Gauss多项式环ℚ［x，i］的理想和商环的性质.给出了Gauss多项式环的理想中次数最低元素的相伴元及一般表示，商环ℚ［x，i］／〈u（x）＋v（x）i〉中元素的一般表示，以及在特殊情况下Gauss多项式环理想和商环的形式和性质.

为了方便后面说明，我们先作如下定义：

定义1［3～4］设ℚ［x］是有理数域ℚ 上的一元多项式环，f（x），g（x）∈ℚ［x］.如果f（x）｜g（x），且g（x）｜f（x），则称f（x）与g（x）相伴，记作f（x）～g（x）.

1 主要结果及证明

1.1 Gauss多项式环的理想

在给出Gauss多项式环ℚ［x，i］的理想的一般表示前，先确定其理想中次数最低的有理系数多项式，这将有助于后面有关Gauss多项式环的商环的讨论.

给定u（x），v（x）∈ℚ［x］，为叙述方便，本文一直使用如下记号，d（x）＝（u（x），v（x））为u（x），v（x）的首项系数为1的最大公因式，且u1（x）＝u（x）／d（x），v1（x）＝v（x）／d（x），N＝〈u（x）＋v（x）i〉是Gauss多项式环ℚ［x，i］中由u（x）＋v（x）i生成的主理想.对于任一非零多项式f（x），∂（f（x））表示其次数.

定理1 记号如前所述，则多项式环ℚ［x］中属于N的次数最低的有理系数多项式t（x）与d（x）（x）＋（x））相伴.

证明 设t（x）是多项式环ℚ［x］中属于N的次数最低的有理系数多项式，则存在f（x），g（x）∈ℚ［x］，使得

t（x）＝（f（x）＋g（x）i）（u（x）＋v（x）i）.

有：

因为

所以d（x）｜t（x）.于是令t（x）＝d（x）t1（x）.有：

解得：

因而

从而我们知：

又

所以

由t（x）的次数最低知t1（x）次数最低.因而

即

得证.

定理2 记号如前所述，则理想中元素的一般表示如下：

或

证明 任意a（x）＋b（x）i∈〈u（x）＋v（x）i〉，存在f（x），g（x）∈ℚ［x］，使得

则

因为

所以

于是令

有：

解得：

因此

所以

即

反之，设

且

令

故

即

又因为

所以有：

不妨令

即

代入（1）式得：

故

于是

同理可证：

1.2 Gauss多项式环的商环

下面的定理3基于Gauss多项式环的理想中次数最低元素的相伴元，给出了Gauss多项式环的商环ℚ［x，i］／N中任意元素的表示.

定理3 记号如前所述，则商环ℚ［x，i］／N中任一元素都可以并且唯一的表示为r1（x）＋r（x）i＋N的形式，其中：r1（x）＝0或∂（r1（x））＜∂（d（x）（x）＋（x））；r（x）＝0或∂（r（x））＜∂（d（x））.

证明 任意a（x）＋b（x）i＋N∈ℚ［x］／N，其中a（x）＋b（x）i∈ℚ［x，i］.存在q（x），r（x）∈ℚ［x］，使

其中：∂（r（x））＜∂（d（x））或r（x）＝0.由于

故存在s（x），t（x）∈ℚ［x］，使得

于是

从而

由定理1知，ℚ［x］中属于N＝〈u（x）＋v（x）i〉的次数最低的有理系数多项式t（x）满足t（x）～d（x）（（x）＋（x））.

不妨设

其中：r1（x）＝0或∂（r1（x））＜∂（d（x）（（x）＋（x））），c为任意常数.这时

因此，商环ℚ［x］／N中任一元素都可表示为r1（x）＋r（x）i＋N的形式.

唯一性显然.

推论 设N＝〈u（x）＋v（x）i〉，（u（x），v（x））＝1.则

1.3 Gauss多项式环在特殊条件下的理想和商环

在特殊条件下，Gauss多项式环的理想和商环的表示形式和性质也较为特殊，这里只例举部分.

定理4 记号如前所述，当v（x）＝0时：

（1）〈u（x）〉＝｛a（x）＋b（x）i∶a（x）≡b（x）≡0（modu（x））｝；

（2）ℚ［x，i］／〈u（x）〉＝或∂（ri（x））＜∂（u（x）），i＝1，2｝ .

证明 （1）任意a（x）＋b（x）i∈〈u（x）〉，存在f（x），g（x）∈ℚ［x］，使

则

于是

反之，设

则

所以

（2）任意f（x），g（x）∈ℚ［x］，令

其中：ri（x）或∂（ri（x））＜∂（u（x）），i＝1，2.

则

唯一性显然.从而定理得证.

推论 当u（x）＝0，v（x）≠0时，

（1）〈v（x）i〉＝｛a（x）＋b（x）i∶a（x）≡b（x）≡0（modu（x））｝；

（2）ℚ［x，i］／〈v（x）i〉＝∶ri（x）＝0或∂（ri（x））＜∂（u（x）），i＝1，2｝.

［1］卢梦霞，李红杰.Gauss整环的理想和商环［J］.河南师范大学学报，2012，40（5）：35－36.

［2］杨荣霞.高斯整环的商环中一般元素的表达形式［J］.杭州师范学院学报（自然科学版），2003，2（2）：8－11.

［3］王蕚芳，石生明.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003：11.

［4］韩士安，林磊.近世代数［M］.北京：科学出版社，2009：172.