不同边界条件下频率空间排列对耦合振子振荡死亡的影响

刘维清，蓝 晶，钟建环，朱 云

（江西理工大学理学院，江西赣州341000）

不同边界条件下频率空间排列对耦合振子振荡死亡的影响

刘维清，蓝 晶，钟建环，朱 云

（江西理工大学理学院，江西赣州341000）

研究不同边界（周期边界、无流边界、固定边界）条件下，耦合振子的频率空间分布对耦合系统振荡死亡所需耦合强度的影响.结果表明，频率空间排列对耦合系统实现振荡死亡所需的临界耦合强度均有显著影响.所有可能的频率空间排列样本中，实现振幅死亡所需的两个临界耦合强度分别服从幂律分布和双对数正态分布.而最易（难）实现振荡死亡所对应的频率空间分布结构与边界条件有很大的关联.通过分析频率分布的特征，定性分析了临界耦合强度所服从双对数正态分布产生的原因.

振荡死亡；混沌振子；频率空间分布；幂律分布；双对数正态分布；混沌控制

0引言

强烈振动对工农业生产、科学研究和日常生活都有着严重的危害，如英国的步行“千年桥”首次开放时，就因人桥耦合而出现剧烈摇晃；美国的塔科马大桥则因风振致毁，其所涉及的系统往往可以由耦合振子系统来刻画.对耦合系统的减振分析，离不开对耦合振子系统中的许多合作行为，特别是耦合振子的振荡死亡的理解.当耦合作用强度较小时，这类系统可能会出现各自独立的演化、同步[1]、锁相[2]等现象.随着耦合强度的增加，系统可能会出现振荡死亡现象.其中，振子的振荡死亡是指动力系统（混沌、周期系统或可激发系统）在相互作用或由外界环境影响下，稳定到固定点而停止振荡的动力学行为[3].由于这些动力系统大量存在于工程应用（如汽车或机床的强列振动，桥梁由风致或车桥耦合导致的振动）和生物系统（如神经元[4-5]，心肌细胞[6]）中.振子的振荡死亡对桥梁、建筑等的结构稳定性和机械系统的功能，甚至人体的生物钟等均有很大的影响，同时在混沌控制[7]中也起着重要的作用.因此，研究耦合振子振荡死亡产生的机制以及影响振子振荡死亡的因素，对防止或促进振子振荡死亡的控制都具有非常重要的意义，并已经成为一个研究热点.振子振荡死亡最早由瑞利勋爵[8]在实验中发现，他发现相邻管风琴的管子会因相互作用而出现消音现象.接着分别在耦合化学振子[9-10]，耦合激光系统[11]，非线性电路[12]实验中被观察到.一般认为，两个振子在相互耦合时走向振荡死亡的机制主要有两种：一种是由于两个相互作用的振子之间存在频率失配[13-14]，相互作用后而走向振荡死亡；另一种是由于相互作用时信号传输存在的时延而产生的[15-20].也有学者通过引入非线性耦合[21]、动态耦合[22]、交叉变量耦合[23]、线性耦合[24-25]、直流信号驱动[26]等方式观察到振荡死亡现象.Hou Z H等[27-28]则分析了复杂网络中非全同耦合振子系统走向振荡死亡的过程和主要影响因素.Ermentrout等[29]通过对近邻耦合的神经元振子的动力学行为进行分析，发现随着耦合作用强度的增加，耦合振子系统会由相同步态最终走向振荡死亡态.Atay[30]发现，逐渐增加的耦合强度会使近邻耦合的振子系统，由部分振子死亡过渡到全部振子走向振荡死亡.而Yang J Z[14]则进一步指出在具有频率失配的近邻耦合振子中，耦合系统从部分振子振荡死亡走向全部振子振荡死亡要经历三个不同的阶段.这三个阶段体现了耦合振子间频率失配造成的不均性和耦合作用使系统达到均匀态之间的竞争机制，从而帮助人们更好地理解耦合振子走向振荡死亡的内在机制.从控制的角度来看，邹为等人先后通过引入非对称耦合（梯度耦合），以显著地减小时延耦合[31]或频率失配耦合系统[32]中达到振荡死亡所需的耦合作用强度.通过引入相互排斥耦合，也可以把耦合周期或混沌振子控制到振荡死亡态.文献[33]指出，通过在具有线性递增的频率空间排列的耦合振子上，引入小的频率失配微扰，可以在一定程度上消除或促进耦合振子的振荡死亡.我们在此基础上拓展分析了频率空间排列对无流边界条件下耦合振子产生振荡死亡的影响的普适规律[34].然而，频率空间排列对振荡死亡影响的内在机制尚不是很清楚.频率空间排列对不同边界条件下的耦合振子系统的影响也不清楚.本文拟系统分析不同边界（周期边界、无流边界、固定边界）条件下耦合振子的频率空间分布对耦合系统振荡死亡所需耦合强度的影响，并定性分析不同边界条件下临界耦合强度所服从的普适规律产生的原因.

1 耦合振子系统模型

本文采用最近邻耦合振子系统模型，研究频率空间排列对耦合振子振荡死亡动力学行为的影响，具体形式如下：

其中z（t）为复变量z（t）=x（t）+iy（t），i为纯虚数，ωj为振子j的振荡频率，边界条件分别设置为：①固定边界，边界上的振子被强行定为不振动的系统（如图1（a）所示），即有：zN+1（t）=0，z0（t）=0；②无流边界，边界上的振子被设置成与其相邻的振子完全相同（如图1（b）所示），即有：zN+1（t）=zN（t），z0（t）=z1（t）；③周期边界，边界上的振子首尾相连（如图1（c）所示），即：zN+1（t）=z1（t），z0（t）=zN（t）.频率分布初始设置为线性增加方式：ωj=ω0+（j-1）δω，j=1，2，…，N，其中ω0＝1，δω为相邻振子之间的频率差.

图1 耦合振子系统边界条件示意图

2 耦合振子振荡死亡区域的确定

当耦合强度ε为零时，单个振子系统z（t）是以ωj为频率的周期振荡，且单个子系统具有不稳定固定点（0，0）.随着耦合强度的增加，耦合作用可以使系统（1）的不稳定固定点（0，0）变成稳定固定点，则系统（1）变成振荡死亡态.对于耦合振子的振荡死亡态的稳定性，可以基于线性稳定性分析法予以确定，从而确定耦合系统达到振荡死亡所需的临界耦合强度εc.具体求解过程如下：在固定点上引入小的微扰ξj，则微扰的动力学演化过程完全可以由方程（2）确定：

则微扰向量完全可以由方程（3）确定：

其中，矩阵H的表达形式分别如下：

在固定边界条件时，b=0，m=2；无流边界条件时，b=0，m=1；而周期边界条件时，b=1，m=2.于是振荡死亡的稳定参数区即为使得矩阵H的最大特征值小于零的参数区.当振子数N较小 （N=2，3）时,矩阵的最大特征值可给出解析表达式，详见文献[32].当N较大时，只能通过数值计算结果来确定.图2中给出了耦合系统（N=9）在无流边界、周期边界和固定边界条件下，在参数空间δω~ε中对应的振荡死亡稳定区（OD）.结果表明，在无流边界和周期边界条件下，参数空间δω~ε中的振荡死亡区为V型.如果给定的相邻振子参数失配δω大于某一值（该值与振子数N有关），则系统在耦合强度大于εc1时走向振荡死亡态，而在耦合强度大于εc2时离开振荡死亡区.如果相邻振子参数失配δω小于某一值时，耦合系统不存在振荡死亡参数区间，即不存相应的临界耦合强度εc1或εc2.然而，在固定边界条件下，对于给定的足够大的相邻振子参数失配δω（δω＞0.36），当耦合强度大于εc1时，系统进入振荡死亡区，并一直处于振荡死亡区，即不存在εc2；对于足够小的δω，由于边界固定为零，当耦合强度大于ε′c1时，在边界的作用下，系统也会进入振荡死亡区（对应的δω下，无流边界和周期边界下不存在振荡死亡区）.

图2 不同边界条件下耦合振子死亡区（N=9）

进一步考查耦合系统的振子数N对耦合振子走向振荡死亡所需的临界耦合强度的影响，我们考查耦合振子数N对振荡死亡所需的两临界耦合强度εc1（ε′c1）或εc2的影响.图3（a）~（c）给出了不同边界条件下，log（εc1）和log（N）的关系以及log（εc2）和log（N）的关系.结果表明，耦合振子系统的第一个临界耦合强度εc1基本不随N发生变化，而第二个临界耦合强度εc2随着振子数N按幂律增长，即有：log（εc2）＝4.47log（N）－2.9（无流边界），log（εc2）＝3.93log（N）－2.16（周期边界）.特别地，对于固定边界条件下，当频率失配较小时，耦合系统进入振荡死亡所需的临界耦合强度ε′c1满足log（ε′c1）＝1.67log（N）-0.55.

图3 耦合振子振荡死亡所需临界耦合强度与振子数N的关系图

3 频率空间排列对振荡死亡临界耦合强度的影响

为了考查耦合振子的频率空间分布对耦合系统达到振荡死亡所需临界耦合强度的影响，我们通过计算每一种频率空间排列对应的矩阵H的最大特征值，进而确定所有空间排列下，系统达到振荡死亡所需的临界耦合强度.对于N个不同频率的耦合振子，所有可能的空间排列有N！/2个.图4给出了三种边界条件下，N（N=9）个耦合振子在所有可能的频率空间排列下，出现振荡死亡所需的临界耦合强度服从的概率密度函数.结果表明，当相邻振子频率失配较大时（δω=1），所有频率空间排列对应的临界耦合强度εc1服从幂律分布，即有：

其中d=exp（1.32），γ=-3.1（无流边界）；d=exp（-0.3），γ=-2.17（周期边界）；d=exp（-0.25），γ=-2.08（固定边界），如图4（a）（c）（e）所示.

对于无流边界和周期边界条件，所有频率空间排列对应的第二个临界耦合强度εc2服从双对数正态分布，即：

其中λ=3.441，β=0.162（无流边界），λ=0.7，β=1.47（周期边界），如图4（b）（d）所示.

图4 耦合系统在不同频率空间排列下，实现振荡死亡所需的临界耦合强度所服从的概率密度函数

对于固定边界条件，当δω=0.2时，进入振荡死亡所需的临界耦合强度为ε′c1，若令εc=εm-ε′c1（其中εm为所有排列下，系统达到振荡死亡所需的最大临界耦合强度），则对于所有频率空间排列，εc服从双对数正态分布，即：

其中，εm=10.86，λ=-1.547，β-0.62（固定边界），如图4（f）所示.

下面我们讨论耦合振子系统的尺寸N对临界耦合强度分布的影响，由于在无流边界和周期边界下，当相邻振子频率失配较小时，没有振荡死亡区间，即不存在振荡死亡的临界耦合强度.对于给定的频率失配，当对耦合振子数增加时，有可能会使系统不存在振荡死亡区，而影响考察系统的尺寸效应.而在固定边界下，频率失配大于零时，一定有振荡死亡区间.我们选取固定边界条件下，相邻振子频率失配较小（选取时，研究系统的尺寸N对临界耦合强度分布的影响.通过分别观察N= 7，10，30，100时，εc=εm-ε′c1的分布.结果表明，对于不同的振子数N，εc均服从双对数正态分布，如图5 （a）~（d） 所示， 其中各图对应的 εm＝6.52，10.18，9736，1039.

图5 不同振子数N对应的εc所服从的概率密度函数

由图5可知，对于不同的振子数N，不同频率空间排列下系统达到振荡死亡临界所需的耦合强度均服从双对数正态分布，但具体曲线形状随着N不同而有所不同，即对应的概率密度函数具有不同的参数.其中，参数λ随着N而线性增长，而参数β则基本不随振子数N改变，如图6（a）所示.此外，所有分布中最大临界耦合强度εm以N2增长，如图6（b）所示.

4 振荡死亡所需最大（小）临界耦合强度对应的频率空间排列

图6 参数随耦合振子数N的变化关系

为了考查频率的空间分布对系统振荡死亡所需临界耦合强度的影响，对于小N（N=9）的情形，通过穷举所有频率空间排列，可以确定最小（大）的临界耦合强度εc1所对应的频率空间分布（详见表1和图7）.结果表明，①对于无流边界条件，当靠近两边界的振子的相邻频率差大，而中心振子的相邻频率差小时（如图7（c）），具有最小的εc1.当一个边界的振子相邻频率差大，而另一边界的相邻频率差小时（如图7（d））具有最大的εc1.②对于周期边界条件，当所有的振子相邻频率差都相等时（如图7（b）），有最小的εc1，而当一个边界的振子相邻频率差大，而另一边界的相邻频率差小时（如图7（d））具有最大的εc1.③固定边界条件下，当中心振子间频率差大，而两边频率差小时具有（如图7（a））最小的ε′c1，而当靠近两边界的振子的相邻频率差大，而中心振子的相邻频率差小时（如图7（c））具有最大的ε′c1.

同理，可以确定离开振荡死亡所需的最小（大）的临界耦合强度εc2所对应的频率空间分布.结果表明，①对于无流边界条件，当一个边界的振子相邻频率差大，而另一边界的相邻频率差小时（如图7（d））具有最小的εc2.当所有的振子相邻频率差都相等时（如图7（b）），有最大的εc2.②对于周期边界条件，当靠近两边界的振子的相邻频率差大，而中心振子的相邻频率差小时（如图7（c））具有最小的εc2.当一个边界的振子相邻频率差大，而另一边界的相邻频率差小时（如图7（d））具有最大的εc2.

表1 三种边界条件下，具有最大（小）振荡死亡所需临界耦合强度的空间排列

图7 几种特定的频率空间排列，空心点与实心点为对称的两种排列

5 双对数正态分布产生的机制

为了考察所有频率空间排列下，临界耦合强度服从双对数正态分布的产生与频率空间分布间的关系，我们定义了中心振子的平均粗糙度其中 mc是处于中间的一半振子的个数（mc=Int（N/2）），{C}是中间振子的编号集合.边缘振子的平均粗糙度j∈{E}，其中me是处于边缘的一半振子的个数（me= Int（N/2）），{E}是边缘振子的集合.定义中心与边缘的相对粗糙度Rce=Rc/Re.以固定边界条件耦合振子系统为例，取N=9，，对于所有可能的频率空间排列，可以计算出相应的 Rc、Re和Rce，并对Rce的取值进行统计，结果表明Rce服从双对数正态分布，如图8所示.同时，作出临界耦合强度ε′c1与相对粗糙度Rce的关系如图9所示.结果表明，Rce与ε′c1之间具有单调减少的关系.即Rce越大，则ε′c1越小，而Rce的取值服从双对数正态分布，因此，ε′c1的取值相应地也趋于双对数正态分布.

图9 临界耦合强度与相对粗糙度Rce的关系

6讨论

耦合非全同振子中，对于不同的频率空间排列，耦合系统进入或离开振荡死亡参数区所需的临界耦合强度不同.对于所有可能的频率空间排列，系统进入振荡死亡参数区所需的临界耦合强度服从幂律分布，而离开振荡死亡参数区所需的临界耦合强度服从双对数正态分布.耦合系统的边界条件，对不同频率空间排列下的临界耦合强度所服从的分布影响较小，但对于具有最小（大）的临界耦合强度时所对应的频率空间分布的情形有较大的影响.由于在近邻耦合方式中，耦合系统的死亡区在ε-δω参数空间是V型，因而，相邻振子的频率失配越大，耦合系统需要的耦合强度越小.对于固定边界条件，边界被固定为定值，当中心振子频率差较大时，边界频率差较小时，最容易实现振荡死亡.而无流边界条件下，则是中心振子频率较小，边界附近的频率差较大时，最容易实现振荡死亡.主要是由于无流边界上的耦合振子为镜像振子（全同振子），耦合后边界上有可能形成同步小集团而不利于振荡死亡.因此边界上的频率失配较大时才更容易破坏同步而出现振荡死亡.周期边界条件则是当相邻振子频率差相等时最容易实现振荡死亡.主要是由于此时两边界上的耦合振子具有最大的频率失配，而使整个系统最快趋于振荡死亡.对于耦合系统频率空间排列对振荡死亡影响的分析，可为振动系统控制、更好地理解生物系统自组织行为提供理论支持.

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Effects of the spatial frequency distribution on the oscillation death of coupled oscillators with different boundary conditions

LIU Wei-qing,LAN Jing,ZHONG Jian-huan,ZHU Yun(Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

The effects of frequency spatial distribution on the critical coupling strength for oscillation death are explored in the coupled oscillators with various boundary conditions including periodical,non-flux boundary, fixed boundary conditions.The results show that the frequency spatial distributions have remarkable influences on the critical coupling strength for oscillation death.The critical coupling strengths for oscillation death of all possible spatial frequency distribution obey power law and lognormal distribution respectively.The spatial frequency distributions which are easier/harder to get oscillation death are concerned with the boundary condition of the coupled system.Finally,the regimes of the lognormal distribution of the critical coupling strength are offered according to the characters of the frequency distribution.

oscillation death;coupled oscillators;spatial distribution of frequency;powerlaw distribution; lognormal distribution;chaos control

O415.5

A

2095-3041（2014）00-0075-08

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2014.01.013

2014-01-28

国家自然科学基金资助项目（11262006）

刘维清（1977- ），男，博士，教授，主要从事非线性动力学等方面的研究，E-mail:Wqliujx@gmail.com.