一类高阶线性微分方程解在角域上的增长性

杨碧珑，易才凤

(江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌330022)

0 引言与结果

本文使用Nevanlinna值分布理论的标准记号［1-2］，以 T(r，f)记亚纯函数f(z)的特征函数，N(r，f=a)表示函数f(z)的a值点的密值量，ρ(f)和μ(f)分别表示f(z)的级与下级，用δ(a，f)表示函数f(z)在点a的亏量等.

关于亚纯系数高阶线性微分方程

非零解在全平面上的增长性已有很多研究，本文主要讨论此类方程的解在某些角域上的增长性.

论文的证明需要用到角域上特征函数的相关性质［3-4］.

假设f(z)是角域Ω(α，β)上的亚纯函数，其中

亚纯函数f(z)在角域Ω(α，β)上的增长级和下级依次定义为

下面定义角域上的Ahlfors-Shimizu特征函数［5］，令

定义

并运用Ahlfors-Shimizu特征函数定义了f(z)在角域Ω(α，β)上的级和下级:

然而这2种不同定义的增长级存在一定的联系，根据文献［6］中证明的不等式

其中 Ω= Ω(α，β)，ω= π(β - α)，容易知道，若则σαβ(f)＜∞.若{αj，βj}(j=1，2，…，q)为 q 组实数，满足

定理A［7］设A0(z)于开平面亚纯，具有非零的增长级ρ(0＜ρ≤∞)，其下级μ=μ(A0)＜∞，在∞的亏量δ= δ(∞，A0)＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)为满足(3)式的 q组实数，并且，其中σ ＞ 0，μ≤σ≤ρ.若A(z)(j=j1，2，…，k)于开平面亚纯且 T(r，Aj)=o(T(r，A0))，则方程

的每1个非零解f(z)有σX(f)=+∞，其中αj≤argz≤βj}.

自然会问:当A0(z)为具有有限亏值的亚纯函数时，方程(1)是否也有相同的结论?下面的定理回答了上述问题.

定理1 设A0(z)为ρ=ρ(A0)级亚纯函数，其下级μ=μ(A0)＜∞，极点收敛指数λ=λ(1/A0)＜ρ，存 在 有 限 亏 值 a，δ= δ(a，A0) ＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)为满足(3)式的 q组实数，令ω=max{π/(β1-α1)，…，π/(βq-αq)}，且ω＜ρ，，其中 σ＞ 0，max{ω，μ，λ}＜ σ≤ρ.若Aj(z)(j=1，2，…，k-1)于开平面亚纯且ρ(Aj)=0，则方程

1 引理

为了证明定理，还需要下面的相关记号和引理.

引理1［8］设f(z)为角域上的有限ρ级亚纯函数，令 Γ={(n1，m1)，(n2，m2)，…，(nj，mj)}表示满足ni＞mi≥0(i=1，2，…，j)的不同整数对的有限集合，设ε＞0及δ＞0为给定的正常数，则存在只与f，ε，δ有关的常数k＞0，使得

对所有(n，m)∈Γ 成立，其中z=reiφ∈Ω(α +δ，β-δ)且z∉D，D为……