基于9/11小波与EZW算法的电能质量谐波信号二维数据压缩

崔 旭，尹为民

(海军工程大学 电气与信息工程学院，湖北 武汉 430033)

0 引 言

随着电力系统的发展，由于自然灾害、设备老化及众多人为因素，发生电力系统故障不可避免，电力系统故障对人类的生产、生活及国民经济等都会造成巨大的影响和损失，实现对电能质量实时分析和监控的要求也日益迫切。但随着电能质量监测系统不断提升导致其采样数据量非常大，数据向控制中心上传时，会增加传输时间，降低数据传输的可靠性。这使电能质量信号的存储和传输面临巨大的挑战。数据压缩作为解决海量信息存储和传输的支撑技术受到人们的极大关注。

实际电力采样数据的压缩方法可分为无损压缩；有损压缩以及无损有损相结合三大类。无损压缩算法主要有Huffman 编码、LZ77和LZSS压缩算法、LZ78和LZW压缩算法、算术编码算法以及游程编码等。有损压缩主要有预测编码、脉冲编码以及变换域编码算法，如傅立叶变换编码算法、离散余弦编码算法、小波和小波包编码算法等。目前基于小波变换的数据压缩方法有:多分辨率分析方法、小波(包)变换、最优小波包基、提升小波变换、多小波、小波神经网络方法等[6]。

基于小波变换的图像压缩编码模型一般包含3个部分。首先，利用二维Mallat分解算法对原始图像进行分解，假设分解成M层，则得到3M个高频子图与一个低频子图。其次，由于小波变换系数在幅度上还是连续的，需要对小波变换系数进行量化，其被量化以后产生符号流的每一个符号是对应特定量化阶层的标记，信息的损失一般发生在量化级；最后，由熵编码把量化得到的符号流表示为比特流，以达到压缩数据的目的。

1 小波的双正交分解方法及EZW编码

1.1 双正交多分辨分析

(1)

上式也称为双正交条件。

在双正交的多分辨分析下，双尺度方程表示为

(2)

(5)

1.2 EZW算法

EZW[2]的全称是“embedded coding using zerotrees of wavelet coefficients”(用小波系数的零树进行嵌入式编码)。对图像进行二维小波变换之后，各子带之间的数据可以看成是一个树状结构。实验表明：如果在粗尺度下(即图像分解的高层)小波系数相对于给定阈值T来说不显著，则在较细尺度(即图像分解的较低层)下的同一个空间位置上，相同方向的所有小波系数相对于T来说都很可能不显著。EZW算法通过多遍扫描编码图像，其中每遍扫描都包含以下的处理步骤：1)选择阈值；2)小波系数与阈值Ti-1进行比较确定重要系数；3)对重要系数进行量化；4)重新排序；5)输出编码信号。多次循环扫描后完成算法。

2 实验数据分析

电能质量信号是一种周期信号，其波形呈现某种相似性，因而是一种冗余度较大、而信息熵较小的信号，从理论上来讲，应该具有较大的压缩比。以往的一维数据压缩方法大都没有考虑到这种周期间冗余特性，因而压缩比受到很大的限制，而使用二维压缩方法可以消除周期之间的空间冗余[3]。本文算法的核心思想是将电能质量信号按基频周期分段组成二维矩阵，用电能质量信号幅度值表示为图像的灰度值，利用小波变换对信号进行分解，再利用小波系数的零树进行嵌入式编码，最终达到理想的压缩比。

以电压信号X(n)=Acos(100nTs)+0.03Acos(300nTs)+0.05Acos(500nTs)+0.03Acos(700nTs)为例，其中A=222,信号中含有3，5，7次谐波，每个周期采样256个点，图2为采样8个周期的图像。每组信号长度为256 个周期，以每个周期256 个采样点作为二维矩阵的一行即可构成一个 256×256的二维矩阵。通常可用二进制数字有限的精度来代表实数，即所有的实数都可以用一串二进制数字来表示，二进制数字表达式的右端每添加一位长，都会取得更好的精度。这样，在允许的精度误差内，可以取有限的位长来表示信号的幅值。由此为了验证方便，本文实验中将原始数据统一保存为无压缩的16位灰度位图格式，如图2所示(16位/样本)。

图1 实验信号波形Fig.1 Experimental signal waveform

图2 实验数据转换为二维灰度图Fig.2 The two-dimensional gray scaleconverted by power quality data

3 小波性质对电能质量数据压缩的影响

S.Mallat曾指出，在数据压缩、信号去噪及快速计算等大多数小波应用中，主要利用小波基可以用较少非零小波系数去有效逼近实际函数的能力，选择小波基应该是以最大量的产生接近于0的小波系数为最优[4]。小波基的这种能力主要依赖于其数学特性：消失距、正则性、紧支性、对称性和正交性等。下面就这5个方面讨论其对数据压缩的影响。

1)正交性、紧支性、对称性

这3个性能可以放在一起进行讨论。因为大部分正交小波基无限支集,与此相联系的滤波器也是无限冲击相应(非紧支)，但自从Daubechies构造了紧支集的正交小波基,便可以用滤波器分解图像。若用小波来表示图像,除了正交性的要求之外,还希望小波光滑,因为图像大部分是光滑的(除少数边缘外)。而且要求小波对应的滤波器的长度应尽可能短,以便加快运算速度。但较短的滤波器对应的光滑度就小,二者互相矛盾。同时,希望滤波器是线性的,这样它在形成锥形数据时不需要相位补偿就能精确重建原图。为了解决正交性和对称性的矛盾,Cohenet等人把双正交小波引进了信号处理,即它有2个小波,Ψ和它的对偶小波Ψ。双正交小波降低了正交性的要求,保留了正交小波的一部分正交性,使之可达到相位保持及较短滤波器的要求。

2)正则性

指时间连续的小波Ψ(x)至少是连续的,是一阶或二阶连续可微。如果一个滤波器组正交,且收敛于具有紧支集的连续函数Ψ(x),我们说这些滤波器正则(regular)。离散小波变换与一般的子带分解的区别除外观上和解释说明不一样外,重要区别就在于小波滤波器必须正则。对小波滤波器,极限函数Ψ(x)的正则性越好,收敛于该极限就越快。

3)消失矩

其大小决定了用小波逼近光滑函数时的收敛率。当图像光滑时,越大的消失矩将导致越小的小波系数,压缩比就有可能提高;而对不光滑的图像,将会有更多大的小波系数。因为一维电能质量信号变换出的二维矩阵，其图像相当光滑，所以消失距才是提高电能质量数据的压缩比的主要影响因素。

消失距、正则性、紧支性、对称性和正交性对数据压缩的具体影响如图3所示。

图3 消失距、正则性、紧支性、对称性和正交性对数据压缩的影响Fig.3 The impact of the vanishing moment,the regularity properties, the compact support,the symmetry and the orthogonally to the data compressed

4 实验小波的构造

参照上面几点,现设计分解端消失矩为6, 而重构端消失矩为4的小波[5], 在双正交的多分辨分析下，双尺度方程表示为

(6)

(8)

求得它们的解是:

(9)

根据双正交情形的滤波器设计的算法，滤波器对构成的极小矩阵(Minimal Matirx)的阶数是18。于是构造一个18阶的2-循环矩阵，可以获得一个方程组如下：

(10)

以上方程组是一个非线性方程组，可以使用Matlab得到如下2组解。

abtuvwx06360469-0337150810417948-04887598-00770234-001124030056126003826386-0242786318766971-06674903-051447120167490300761226

所以可以得到两组9/11(这里指对应的滤波器的长度)滤波器。

0±1±2±3±4±5hi1-1327025-047198703637860118434-0053827h i1054113303433520061156000028000218310009922hi207366600345605-005446400079480039687h i208995060476803-0093505-0136706-00026950013457

上面第2组9/11小波的图像如图4所示。通过图形可以看出, 第2组的数学性质更好, 其压缩效果也更好。

5 仿真结果

5.1 评价的标准

开发和实现有损图像压缩要有一种标准度量，用来衡量与原始图像相比较的重建图像的质量。采用均方误差(MSE)、峰值信噪比(PSNR)、压缩比(CR)、像素位数(BPP)作为压缩性能的度量，其中像素位数指的是编码一个像素点所需要的比特位(Bit-Per-Pixel)。设图像和重建图像的像素分别表示为f(j,k)和f^(j,k)(其中1≤i≤n)其他3个指标定义如下：

均方误差

峰值信噪比

压缩比

CR=ScompressedSoriginal。

式中：Scompressed为压缩后信号数据大小；Soriginal为原始数据大小。

5.2 不同小波压缩性能的比较

利用9/11小波与EZW算法相结合，对前文所述的谐波信号进行压缩仿真，即先进行小波分解，再将分解系数矩阵通过EZW进行熵编码。影响实验结果的有3个因素：1)小波的选择，2)小波分解的层数，3)EZW算法的循环次数。而在实际应用中，需要考虑在尽可能提高压缩比率的情况下，尽量满足实时性。在使用相同小波的情况下，小波分解层数的大小影响最终压缩比，EZW算法的循环次数影响编码重建图像的质量。目前，DSP 的运算速度已达百兆以上，经过测试对256×256的二维矩阵进行5层小波分解计算，消耗时间在468～524 ms之间，因此从数量级的角度来看5层小波分解完全能够满足对电能质量监测网的实时性要求，同理分析将EZW算法的循环次数选为6次。表1列出了相应的仿真结果。

表1采用不同小波基的数据压缩结果

Tab.1 The data compression results using different wavelet

MSEMaxErrorPSNRBPPCR/%9/1121562447900252032Haar201634250900508063Db428114336400254032Sym3490914312200228029Bior33456512315400235029

由表1可以看出，虽然Sym3与Bior3.3小波可以达到最低的压缩比，但是综合考虑重建数据准确率的情况下，其性能不够优秀。现对MSE差距最大的2个小波9/11小波与Haar小波进行简要分析。图5为采用Haar小波进行二维小波变换后的图像，图6为其对应的直方图。图7为采用9/11小波进行二维小波变换后的图像，图8为其对应的直方图。

图5 二维电能质量信号经过haar小波分解后的图像(5层)Fig.5 The haar wavelet decomposition of the image of the two-dimensional power quality signal(5layer)

图6 二维电能质量信号Haar小波分解后的图像的直方图(5层)Fig.6 The haar wavelet decomposition of the histogram of the two-dimensional power quality signal(5layer)

图7 二维电能质量信号经过9/11小波分解后的图像(5层)Fig.7 The 9/11 wavelet decomposition of the image of the two-dimensional power quality signal(5layer)

图8 二维电能质量信号9/11小波5层分解后的图像的直方图(5层)Fig.8 The 9/11 wavelet decomposition of the histogram of the two-dimensional power quality signal(5layer)

由图5～图8可以看出，2种小波对二维电能质量信号进行小波变换后图像的直方图有很大差异，采用9/11小波的直方图更集中，而采用haar小波的直方图存在相对比较的非零点。因为小波变换后系数的零点越多，越能达到更高的压缩比，这也是消失距这一属性对压缩性能影响的很好体现。图9显示了相应小波还原后图像与原图像的对比。

图9 重建图像与原始图像对比Fig.9 Reconstruction of the image with the original image contrast

5.3 实验结果误差分析

经过以上实验可知，二维电能质量谐波信号采用9/11双正交小波分解与EZW算法相结合的压缩方法可以达到0.32%的压缩率(小波分解层数为5，EZW算法循环层数为6)。图10和图11就解压信号与原信号的相对误差进行了分析，因为信号是多周期的采样数据，所以只需观测第1周期的相对误差。

图10 二维相对误差Fig.10 Two-dimensional relative error

图11 压缩信号与原信号的相对误差(第1周期)Fig.11 Relative error of the compressed signal and the original signal(first cycle)

图12 原始信号与解压信号对比图(第1周期)Fig.12 The original signal and the decompressed signal contrast(first cycle)

从图中可以看到，经过压缩还原的信号的精度完全满足要求。图12为还原信号与原始信号的对比图。

6 结 语

在分析现有电能质量扰动数据压缩算法的基础上，为了充分利用二维矩阵数据间的相关性，采用二维电能质量数据与EZW编码方法相结合的压缩转换方案。在分析了小波的数学特性(消失距、正则性、紧支性、对称性和正交性)各方面对数据压缩的影响后，将9/11小波用于电能质量数据的压缩试验，在对数据进行5层二维小波分解并且EZW编码算法循环次数为6的条件下，在满足误差精度的前提下，达到了0.32%的压缩比。仿真证明此种方法可以有效压缩电能质量的谐波数据，并且满足实时性要求。此外，因为二维数据压缩可以极大压缩周期间数据的冗余度，所以如果加长采样周期，如每个周期采样256点，采样512个周期组成256×512的矩阵，通过这种方式可以进一步提高压缩比。

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