基于协同度的灰关联VIKOR方法

李庆胜，刘思峰

1.临沂大学商学院，山东临沂276005

2.南京航空航天大学经济与管理学院，南京211106

1 引言

多属性群决策是决策科学的一个重要分支，随着社会与科技的发展，多学科的相互交叉，人们面对的决策问题越来越复杂，需要集中各领域的多个专家才能完成决策，因此有关群决策的理论和方法的研究就显得愈为重要，目前已有不少研究成果[1-6]。有关群决策的研究主要分为三个方面：专家权重、属性权重的确定和方案排序方法。专家权重的确定目前有关联加权几何平均法、离差最大化法[7]等，这些方法从多方面、多角度地解决了群决策中专家权重的确定问题[8-10]。属性权重确定方法有加权平均法、方差最大化和信息熵法等，方案的排序主要是加权平均法和TOPSIS法[11]，这些排序方法从不同程度上解决了一些群决策问题。但是，对多属性群决策也存在一些问题：一是现有的决策方法往往注重属性绝对值，忽视了属性相对值对决策者的心理影响；二是现有的决策方法中属性指标值往往被看成一组孤立向量值，忽略了指标值对方案整体的协同影响。因此，在现实决策中需要对属性值根据参考值进行奖优罚劣处理并同时进行方案修正，防止个别表现较差指标的消极影响被其他指标所中和或掩盖而不能得到客观反映；一些指标表现极为不均衡（如同时存在最优指标与最劣指标）的方案可能被作为优秀方案选出，而不能充分体现指标之间的协同性，造成评价或决策失误。

为弥补上述多属性群决策方法的缺陷，提高决策结果的科学性与可靠性，本文将协同思想引入到多属性群决策模型中，对指标值进行λ协同度规范化并对方案进行因子修正；同时利用灰色关联理论在处理“小样本”、“贫信息”、不确定问题上的优势[12-13]，计算专家组属性权重。最后，采用了比TOPSIS更具有可靠性和稳定性VIKOR方法对方案进行择优[14]。

2 预备知识

2.1 λ协同度规范化处理与方案修正的基本思想

由于外部环境的日益复杂，研究人员越来越认识到决策并非是简单的方案排序，而需要充分考虑决策过程中复杂心理因素。随着理性决策悖论研究和行为经济学的兴起，以人类实际决策行为为出发点研究决策行为规律及其影响的行为决策理论越来越引起人们的兴趣[15-16]。尤其是在2002年“前景理论”荣获诺贝尔奖经济学奖之后，行为经济学和实验经济学研究得到了主流经济学界的充分认可，同时也把行为决策理论在决策科学研究范畴内推到了的一个重要地位[17-19]。协同决策是行为决策理论的一个重要研究方向。协同的最早定义是由美国麻省理工学院斯隆中心的研究员Peter Gloor给出的，即“由自我激励的人员所组成的网络小组形成集体愿景，借助网络交流思路、信息及工作状况，合作实现共同的目标。”后来扩展到属性对属性的相干能力，表现了属性在整体发展运行过程中协调与合作的性质。属性各自之间的协调、协作形成拉动效应，推动事物共同前进，对事物双方或多方而言，协同的结果使个个获益，整体加强，共同发展。导致事物间属性互相增强，向积极方向发展的相干性即为协同性[20-22]。基于此，本文提出了一种以λ属性协同度为参考点的奖优罚劣规范方法。

除了指标值的奖优罚劣规范之外[23]，在行为决策方面的学者也研究了指标值对属性权重的影响，即属性变权。因常权保持不变而导致决策结果不科学的问题，汪培庄教授首先提出了变权思想[24]，属性变权的方法得到了较为广泛的运用，如基于因素空间理论给出了变权和状态变权向量的公理化定义，构建了变权综合决策的一整套公理化体系。之后，学者们相继研究了状态变权向量或均衡函数的构造，基于变权效果的状态变权向量选取[25]，多层次变权决策等问题，得到了和型与积型均衡函数、指数型状态变权向量等成果，并将变权理论应用于供应链合作伙伴选择，以及基于变权和TOPSIS方法的灰色关联决策模型[26]等取得了较好的效果。但是，变权决策会遇到两方面的问题：变权处理将会破会原有的权重经济意义；现实生活中的决策者往往会根据属性值的大小对方案本身形成综合评价，而不是着眼于单一指标权重改变。为了解决以上问题，使决策结果更好地反映各候选方案的真实状况，本文提出了方案因子修正的方法来代替以往属性变权的方法。方案因子的修正依据规范化值来调整方案修正因子，而不是调整属性权重，使得决策更具有合理性。

2.2 灰色关联确定权重的基本思想

灰色系统理论在处理“小样本”、“贫信息”、不确定问题上存在巨大优势，在多属性决策研究中得到广泛应用[12-13]。文献[12]介绍了灰色关联的原理、概念与计算公式；文献[13]拓展了经典灰色关联方法，建立了灰色区间关联分析方法；文献[26]利用灰色关联确定群决策中指标权重；文献[27]考虑决策者风险态度的影响，建立了基于累积前景理论的灰色关联决策方法。本文依据灰色关联度的基本思想，给出了一种确定专家权重的新方法。本文方法先根据各专家给出的决策矩阵，利用灰色关联度的思想确定专家权重，从而得出群决策矩阵，然后基于偏差最大化的思想计算属性权重。该方法既符合通常的“少数服从多数”的决策原则，又可用于大群体决策，而且各方案的综合关联度之间相对差距较大，这就使得确定的方案排序更合理。

2.3 VIKOR方法基本思想

VIKOR方法是Opricovic于1998[28]年提出的一种基于理想点解的多属性决策方法，其基本思想是首先确定理想解和负理想解，然后根据各个备选方案的评价值与理想方案的接近程度对方案进行择优。虽然VIKOR方法与经典的TOPSIS方法比较相似，都是接近理想点的折衷方法，但是Opricovic通过对两种方法的比较，指出了TOPSIS求得的最优解未必是最接近理想点的解[14]。

VIKOR方法的主要思想是首选确定理想解（PIS）和负理想解（NIS），根据各个方案的评价值与PIS的接近程度，最后在可接受优势和决策过程稳定条件下进行方案的择优。VIKOR方法求得的解往往是折衷解，是所有解中最为接近最优解的可行解，是两属性间互相让步的结果。VIKOR算法通过最大化群体效益和最小化个体损失，得到决策者接受的妥协解；与其他的理想点法如TOPSIS法相比，尽管V IKOR和TOPSIS都是最接近理想方案的折中方法，但是VIKOR算法不需考虑最接近的方案应该离理想解最近而离负理想点最远这一问题，可以直接进行方案排序，是一种很好的多属性决策方法；另外通过VIKOR得到的最优方案更接近理想方案，而由TOPSIS方法得到的最好方案并不总是接近理想方案，同时VIKOR方法可得到带有优先级的折中方案。

在综合的方法上，VIKOR采用了由Lpj-metric发展而来的聚合函数：

式中，1≤p≤∞，j=1，2，…，J，测度Lpj代表了方案aj到理想解的距离，因此VIKOR的最大特色就是最大化群体效益和最小化反对意见的个别遗憾，所以其妥协解可被决策者接受。VIKOR的妥协解如图1所示。妥协解Fc是所有解中最接近最优解的，它是两准则相互妥协的结果。

图1 VIKOR的妥协解

3 基于协同度的灰色关联VIKOR方法

定义1 设多属性决策问题有m个候选方案或评价对象组成方案集V={V1，V2，…，Vm}，n个决策属性或评价指标组成指标集U={U1，U2，…，Un}，方案Vi对Uj的决策样本值为aij(i=1，2，…，m，j=1，2，…，n)，则多属性问题的决策矩阵A为：

步骤1 基于协同度规范化处理

规范化处理的方法较多，如均值化变换、初值化变换、百分比变换、归一化变换、区间值化变换等。为更好地体现前基于参考点收益和损失，本文基于奖优罚劣的思想[5]，提出了λ协同度线性变换算子。其基本思想是：定义基于λ协同度的参考值，当评价对象的指标值如果优于水平，则经过规范化处理赋予规范值rij为[0～1]的正值；如果劣于，则赋予规范值rij[-1～0]的负值。具体如下：

定义2 令

其中，0.5≤λ≤1。

若Aij为效益型指标，则

若Aij为成本型指标，则

性质1|rij|≤1，且恒有max rij-

证明（1）若Aij为效益型指标，则

综上所述有|rij|≤1，且恒有max

以上变换称为基于λ协同度的线性变换算子。通过线性变换算子对决策矩阵A=(aij)m×n进行规范化变换，则规范化决策矩阵R=(rij)m×n，R中的元素都是无量纲元素，并且所有元素均符合奖优罚劣的标准及Vague的思想。对于任意的rij∈[-1，1]，由于规范化决策矩阵中的元素无量纲，它们之间可直接进行比较，由规范化决策矩阵容易求得优于的属性值变为正值，劣于的属性值变为负值。这种方法所得到的规范化矩阵，与人们在实际中的思维方式是一致的。

步骤2 基于灰关联系度的属性权重

灰色关联确定评价指标的权重实际上是对各位专家经验判断权重与某一专家的经验判断的最大值（设定）进行量化比较，根据其彼此差异性的大小以分析确定专家群体经验判断数值的关联程度，即关联度。关联度越大，说明专家经验判断趋于一致，该指标在整个指标体系中的重要程度就越大，权重也就越大。据此对各个指标进行规一化处理，从而确定其相应的权重。计算方法与步骤如下：

（1）聘请专家进行权重的经验判断，确定参考序列设有n个评价指标，有m个专家同时对各个指标的权重作出经验判断，从而组成各个指标权重的经验判断数据列，可分别表示为：

定义3 X0=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，其中，x0(j)=max xi(j)，1≤i≤m，1≤j≤n。

（2）计算灰色关联系数及灰色关联度。根据X0和X1，X2，…，Xm，利用下式求出各个专家对各个评价指标权重经验判断值与参考权重值之间的灰色关联系数ζi(j)和灰色关联度γ(j)：

其中，ρ为分辨系数，ρ∈(0，1)，一般取ρ=0.5。

各个数列的关联度大小，直接反映了各个评价指标相对于设定指标数列的相对重要（即权重大小）的程度。

（3）确定为各个决策指标的权重值w(j)：

步骤3 基于协同度确定方案修正因子

为使决策结果更好地反映各候选方案的真实状况，并且充分体现人们决策对指标因素协同性的考虑，本文在方案修正因子设定采用了指数方法。因指数型具有决策要求体现明显，参数设置灵活，模型扩展能力强等优点[24-25]，具体步骤如下：

（1）计算各候选方案指标的修正因子：

定义4 利用基于λ协同度的规范化处理结果rij作为指数，计算方案下的指标修正值Uij。

显然当rij＞0时，Uij＞1，为奖励型指标修正；当rij＜0时，0＜Uij＜1，为惩罚型指标修正；当rij=0时，Uij=1，为中立型指标修正因子。

步骤4 确定综合权重

确定属性综合权重：

步骤5 运用VIKOR方法对方案进行择优

（1）在规范化后决策矩阵中找出PIS和NIS：

其中，R+为PIS，R-为NIS。

（2）计算Mi和Ni（i=1，2，…，m）：

其中，M+=N-=m ini{Ni}；v为“大多数准则”策略的决策机制系数。v＞0.5时，表示根据大多数人的意见制定决策；v=0.5时，表示根据赞同的情况制定决策；v＜0.5时，表示根据拒绝的情况制定决策。本文取v=0.5。

（4）对方案进行排序：

进一步激励和支持企业加大研发投入，以前沿引领技术、现代工程技术、颠覆性技术创新作为突破口，提高知识产权的创新能力，把创新型企业当作发展目标，发展自主核心技术。同时，鼓励企业积极在全球产业链中进行知识产权布局，可以通过建立海外代工厂消减加征关税影响，或者利用提高技术许可费从而提高海外同类产品价格的方式有效反击“301调查”。

条件1 可接受优势。，其中Q1为排序第一的方案X1对应的值，Q2为排序第二的方案X2对应的值，m为方案个数。

条件2 决策过程中可以接受的稳定性，X1是S或R中排序第一的方案。

判定准则1 如果以上两条件同时满足，则按白化值Qi排序中值最小的方案被认为是最优的折中方案，假定X1是按Qi值排序第一的方案。

判定准则2若上述条件有一个不满足，则得到一个折衷解集。

①若不满足条件2，则X1和X2均为折衷解；

4 算例分析

有5个投标单位构成决策方案集A={}A1，A2，…，A5。选取投标报价U1、施工组织设计U2、质量保证体系U3、施工工期U4、类似工程累计施工面积U5、投标人及项目经理业绩U6和企业财务状况U7这7个指标构成决策指标集U={}U1，U2，…，U7，其中，U1、U4为成本型指标，其余为效益型指标，U2、U3、U6采取专家百分制打分。原始数据如表1所示；专家经验判断的指标权重如表2所示。

表1 建筑工程投标单位选择案例数据

表2 专家经验判断的指标权重

步骤1 规范化处理

利用表1的数据，根据式（2）、式（4）和式（6）可得到基于λ协同度的规范化处理矩阵R，其中0.5≤λ≤1，不失一般性，本文取λ=0.8。

步骤2计算指标权重

利用表2的数据，根据式（5）、（6）和式（7）可得到灰关联系数ζi(j)、灰关联度γ(j)，以及各个决策指标的权重值w(j)。

步骤3 确定方案修正因子和综合权重

（1）利用R矩阵，根据式（8）、（9）和式（10），分别得到方案的指标修正值Uij、方案绝对修正因子S(Yi)和归一化方案修正因子W(Yi)。

（2）按照式（11）得到综合权重矩阵：

步骤4 运用VIKOR方法对方案进行择优

（1）按照式（12）、（13），计算PIS和NIS：

（2）按照公式（14）、（15）、（16）计算Mi、Ni和Qi，得到表3；根据条件1和条件2以及判定准则进行排序，得到表4。

表3 各方案VIKOR评估值

表4 基于VIKOR各方案排序

根据排序条件1、2和判定准则1、2，对方案排序；显然在本算例中：A5≻A3≻A1≻A2≻A4。

步骤5基于综合权重的TOPSIS排序[29]

（1）确定决策矩阵V：

其中，W为综合权重矩阵。

（3）分别计算各方案到正、负理想点的距离：

根据式（18）、（19）得到：

（4）计算与理想解的相对接近程度Ci+：

根据式（20）得到：

TOPSIS的排序结果是：A5≻A3≻A2≻A4≻A1。

显然，VIKOR与TOPSIS的排序结果不完全一致，从一般意义上来看TOPSIS对方案评价值的相对差异更大，对各方案优选的区分度更高，但是也容易产生逆序[14]。VIKOR算法通过最大化群体效益和最小化个体损失，得到决策者接受的妥协解。与其他的理想点法如TOPSIS法相比，VIKOR算法不需考虑最接近的方案应该离理想解最近而离负理想点最远这一问题，可以直接进行方案排序，是一种更好的多属性决策方法[14，28-30]。

本算例对比结果以及VIKOR算法本身具有更高的排序稳定性、可信度和科学性。

5 结论

根据行为决策的思想，提出一种以λ属性协同度的灰关联决策方法。以为参考点对数据奖优罚劣规范化计算方法，并依据规范化属性值调整方案修正因子，避免了对属性指标权重的改变，使得决策更符合现实情况；用灰关联系数和灰关联度方法计算专家组给出的属性权重，并采用了比TOPSIS更具有可靠性和稳定性VIKOR方法对方案进行择优，使决策结果更加合理。在理论分析的基础上，提出了这种新方法决策步骤，并通过算例说明了本文方法的有效性和可行性。

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