基于随机梯度的双率系统自校正控制方法

姚健，黄言平，纪志成

1.江南大学轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏无锡214122

2.北京华航无线电测量研究所，北京100013

3.江南大学，江苏无锡214122

1 引言

多率采样数据系统常见于过程控制领域，随着技术的发展，众多被控系统的输入往往是由计算机控制给定的，随着系统状态的变化可以实时快速地做出调整以得到更好的控制效果。然而过程中的一些状态变量以及系统的输出量的获得往往受限于测量仪器的处理速度而无法达到和输入变量相同的更新速度，甚至有些变量需要通过实验室分析，经历更长的时间才能得到，也就是说，输出采样频率要比控制输入的刷新频率慢，这样就使得输入和输出变量刷新频率不相同。这种存在两个或两个以上采样频率的系统就是所谓的双率或多率采样数据系统[1-2]。本文针对经过处理的特殊多虑系统，即输出采样周期是输入刷新周期整数倍的双率系统自校正控制问题。为叙述方便，在本文中称传统离散时间系统为单率系统。

有关多虑系统的研究，国内外众多学者已经做了不少的工作，在文献[3]中，就首先采用了提升技术，将一个周期时变系统转换成一个时不变系统后再进行辨识，以得到系统模型的参数，但是无论原始的系统是否是单输入单输出（SISO）系统，经提升后的系统肯定是多输入/多输出或者是多输入多输出系统，如此就使得需要辨识的参数数量有一定程度的增加。为了减少辨识过程中的计算量和辨识参数的冗余度，文献[4]建议针对双率模型应用多项式变换技术结合辅助模型的方式设计参数估计器进行参数辨识。在多率系统的控制方面，文献[5]针对一个线性不稳定的非最小相位系统，通过Diophantine方程设计出双率调节器，以得到单率系统中的参考模型的约束条件，并通过对双率系统中所有的稳定控制器进行Youla参数化，以保证针对此类系统所设计的控制器达到内部稳定。文献[6]则进一步结合多项式方程方法，设计了一种多率自校正一般线性二次高斯（GLQG）推理控制器，通过采用推理控制系统I/O模型，把推理估计、LQG最优控制和自校正控制有机地结合起来，简化推理控制系统的设计，实现了自校正控制，并可用于非最小相位系统和开环不稳定系统。而文献[4]则是首先利用多项式变换技术，推导出一个仅含有双率数据的数学模型，随后基于最小二乘辨识算法推导出双率系统的自校正控制算法，并对系统输出跟踪误差的性能进行了分析，给出了闭环系统稳定和收敛的条件和平均误差界；在此基础上，文献[7]把提出的自校正方法推广到Hammerstein非线性双率采样数据系统，提出相应自适应控制算法，并研究算法的控制性能。文献[8]针对双率外加输入自回归（ARX）模型，通过设计一个参数估计器来利用最小二乘辨识方法估计系统模型参数，同时设计一个损失输出估计器来计算系统的采样间输出，最后通过Diophantine方程和极小化最优预测误差方差提出相应的自校正控制算法。

本文同样以极小化最优预测误差方差为目标，首先根据实际可测的输入输出数据，基于随机梯度辨识算法设计参数估计器获得模型参数和损失输出的估计值，设计出相应的自校正控制算法；在对算法的计算量进行分析后，与基于最小二乘算法的自校正控制算法的计算量进行比较，同时通过仿真例子比较分析两种算法之间各自的优劣特性。

2 问题描述

考虑式（1）所示的ARX模型：

其中，{u(t)}和{y(t)}分别为控制输入和输出，{v(t)}是均值为零，方差为σ2随机白噪声序列，d为系统延时并假定已知A(z-1)和B(z-1)为阶次n的单位后移算子z-1[z-1u(t)=u(t-1)]的稳定多项式：

双率控制系统的系统框图如图1所示。

图1 双率自校正控制结构示意图

图中，yr(t)为系统的参考输入（期望输出），u(t)为可以快速率更新的控制输入，P(z-1):=z-dB(z-1)/A(z-1)为系统的传递函数，y(qt)为慢速率的采样输出，其中q取大于1的正整数。输入u(t)和输出y(qt)采样周期或频率不同，可以得到的系统输入-输出数据为：

u(t):t=0，1，…快速率输入信号，以及y(qt):t=0，1，…慢速率输出采样信号，受实际应用中各种条件的限制，采样间输出y(qt+j)(j=1，2，…，q-1)不可得到的采样间输出[2]。

本文提出的控制方法中，“采样间输出估计器”是通过假定慢速率采样输出之间的输出值对应的系统参数估计值保持和上一时刻的值一致，结合实时更新的输入数据计算得到“采样间输出”的估计值，然后通过选择开关。

在不同时刻选择实测输出或者估计输出反馈给控制器。结合反馈输出以及输入数据，基于最小方差控制率就能设计出相应的自校正控制器。通过这样的设计，整个自校正控制过程中用到的数据只是双率数据{u(t)，y(qt)}。

最小方差自校正控制目标即是最小化t+d时刻的预测输出与系统期望输出之间的方差，得到的最小方差控制率方程表示为：

其中G(z-1)和F(z-1)满足如下Diophantine方程：

并可通过令等式两边阶次相同项相等的方式求解得到G(z-1)和F(z-1)的系统。定义β(z-1):=F(z-1)B(z-1)，得最小方差自校正控制率：

上述自校正控制方法是基于输入输出数据同步更新的情况下推导出的，但是针对双率系统中部分输出数据需要估计得到的情况，以上方法也需要经过一定的处理才能继续适用。

3 控制算法推导

设上标T表示矩阵的转置，定义参数向量和信息向量分别为：

其中n0=2n+1。于是式（1）可以重写成

用qt代替上式中的t得到

其中

由于v(qt)是白噪声，用φ(qt+j)代替φ0(qt+j)，根据式（5）可知损失输出估计能通过下式计算：

那么基于双率数据的递推随机梯度辨识方法可以用来估计参数向量θ，具体算法如下：其中r(0)=1，初始值一般取(0)为零向量或某个相对很小的实向量。

而选择采用最小二乘方法辨识出参数后，再进行自校正控制的算法具体为：

其中，为避免对矩阵作求逆运算，将协方差P(qt)按照如下递推方式计算：

其中

依据多项式两边同阶次项系数相等的原则求得：

它们的系数按如下关系式计算：

总结以上计算过程，上述双率自校正控制算法的计算步骤可归纳如下：

（2）获取新的观测值并根据式（6）和（7）求得相应的损失输出估计，构建新的观测数据向量φ(qt+j)。

（3）利用随机梯度算式（8）～（10）计算最新的参数估计向量以及r(qt)。

（4）用公式（12）计算自校正调节量u(t)。

（5）返回第（2）步，继续进行下一时刻的参数辨识和控制率计算。

针对上述分别基于最小二乘（LS）和随机梯度（SG）辨识算法的自校正控制算法进行比较分析，可知两者之间的运算量差别在于辨识算法部分。仅对辨识算法部分的计算量按照乘法次数以及加法次数分别统计，得到的结果如表1所示，其中n0=2n+1，表中给出的计算式表示每一个周期之内递推算法相关部分进行乘法和加法次数，方括号内通过选择系统阶次n=2(n0=5)时计算出所需的具体运算次数以进行直观的说明。从表1可以看出基于随机梯度的算法计算量明显减少。

表1 基于LS和SG算法的计算量比较表

4 仿真例子

在上一章中，通过理论分析确定基于SG算法的计算量要远小于基于LS算法计算量后，还需要验证其控制输出是否也能有效跟踪系统设定的期望输出，以确定该算法的控制效果。考虑下列仿真对象：

(1-1.5z-1+0.7z-2)y(t)=(1+0.5z-1)u(t-1)+v(t)

其中，噪声{v(t)}采用零均值方差σ2=0.252的白噪声序列，系统延时d取1，系统的参考输入yr取为：

yr(k)=1.5(sin 2πk/10+sin 2πk/25)

仿真中假设模型参数是未知的，应用本文提出的基于SG辨识方法的最小方差自校正控制算法进行控制，分别考虑对应的单率系统(q=1)和双率系统(q=2)时的控制效果，得到系统输出和参考输入如图2所示（取前50个采样时刻的控制效果）。同时应用基于LS辨识方法的最小方差自校正控制算法对该系统进行控制，得到系统输出和参考输入如图3所示（取前50个采样时刻的控制效果），其中横坐标表示系统的采样时刻。

图2 q=1及q=2时输出y(t)与期望输出yr(t)

图3 基于SG和LS算法的输出y(t)与期望输出yr(t)

同时计算出前100个（第10至110个）采样时刻的控制误差均值，如表2所示。

表2 针对不同模型选用不同算法的平均控制误差

通过比较图2中双率和单率模型的控制效果以及表2中给出的平均误差数据，可以看出针对有数据缺失的双率系统，采用本文提出的双率控制方法虽然无法达到基于快速单率系统进行控制的效果，但是控制效果也是可以接受的（小于2%）。另外，通过图3和表2可以看出基于SG辨识算法的自校正控制器和基于LS辨识算法的自校正控制器一样，也能够很好地保证系统输出跟随期望输出，但是大幅度减少的计算量是本文提出算法的优势所在。

5 结语

利用双率数据，通过分别设计两个估计器辨识模型参数和估计损失输出，并用估计值代替模型参数真值和损失输出，基于最小方差控制原理，提出了基于随机梯度算法的双率系统最小方差自校正控制算法。通过对两种算法计算过程中运算量的分析以及仿真例子的结果，可以看到提出的方法能够有效跟踪系统的期望输出并且能够有效减少算法的运算量，明显提高了自校正控制算法的性能。

[1]丁锋，陈通文，萧德云.一般双率系统状态空间模型及其辨识[J].自动化学报，2004，30（5）：652-663.

[2]Ding F，Chen T W.Combined parameter and output estimation of dual-rate systems using an auxiliary model[J].Automatica，2004，40（10）：1739-1748.

[3]Li D，Shah S L，Chen T W，et al.Application of dual-rate modeling to CCR octane quality inferential control[J].IEEE Transactions on Control System Technology，2003，11（1）：43-51.

[4]Ding F，Chen T W.Least squares based self-tuning control of dual-rate systems[J].International Journal of Adaptive Control and Signal Processing，2004，18（8）：694-714.

[5]Salt J，Sala A，A lbertos P.A transfer function approach to dual-rate controller design for unstable and non-minimum-phase plants[J].IEEE Transactions on Control System s Technology，2011，19（5）：1186-1194.

[6]徐喆，柴天佑.一种多率自校正GLQG推理控制器[J].控制与决策，1999，14（6）：648-652+657.

[7]Ding F，Chen T W.Adaptive digital control of Hammerstein nonlinear systems with lim ited output sam pling[J].SIAM Journal on Control and Optim ization，2007，45（6）：2257-2276.

[8]肖永松，丁锋.双率采样数据系统最小方差自校正控制方法[J].系统仿真学报，2009，21（8）：2331-2334.