调和K-拟共形映照下Heinz不等式的精确估计

朱剑峰

（华侨大学 数学科学学院，福建 泉州362021）

1 预备知识

设u为定义在区域D⊆C上的实函数，如果u具有二阶连续偏导数且满足Laplace方程：Δu＝uxx＋uyy＝0，则称u为D上的调和函数.设f（z）＝u＋iv为定义在区域D的复变函数，如果u和v皆为D上的调和函数则f（z）为D上的调和映照.令U＝｛｜z｜＜1｝为单位圆盘，f（z）为定义在U上调和函数.则由文献［1］知f（z）可表示为

设f（z）为U上的单叶保向调和映照，则由Lewy［2］定理可知f（z）的Jacobian恒正，即Jf＝｜h′｜2-｜g′｜2＞0.若进一步地存在常数K＞1，使得

则称f（z）为U上的调和K-拟共形映照.

调和拟共形映照是共形映照的推广，近年来国内外许多同行研究了调和映照成为拟共形映照的充要条件，以及调和拟共形映照下的极值理论、偏差估计等取得了许多有趣的结论［3-10］.

1952年，Heinz证明了如下的定理.

定理A （Heinz引理［11］）设w（z）为单位圆盘U到自身上的单叶调和映照满足w（0）＝0，则有

式（2）中：c＞0为常数.

定理B 设w（z）为单位圆盘U到自身上的调和K-拟共形映照，满足w（0）＝0，则对于任意的z∈U，有

文中利用调和测度的拟不变性得到边界函数F的一个偏差估计，进而利用不等式（4）得到调和拟共形映照下Heinz不等式的一个精确下界估计.

2 主要结论及证明

定理2 设w（z）＝P［F］（z）为单位圆盘U到自身上的调和拟共形映照，F（exp（it））＝exp（iγ（t））为其边界函数.对于z1＝exp（i（s-t）），z2＝exp（i（s-t））∈T，令θ＝γ（s＋t）-γ（s-t），则有F（z1）＝exp（iθ）F（z2），且对于0≤s，t≤2π，有

证明 由定理2的条件及调和测度的拟不变性（参见文献［4］的式（1.9））可知，对于0≤s，t≤2π，有不等式

定理2证毕.

定理3 假设w（z）＝P［F］（z）为单位圆到自身上的调和K-拟共形映照，且满足w（0）＝0，其中F（exp（it））＝exp（iγ（t））为边界函数，则有

图1 函数B（K）的图像Fig.1 Graphics of the function B（K）

定理3证毕.

注1 定理3中若假设K＝1，则w（z）＝exp（ix）z为单位圆到自身上的共形映照，此时｜wz（z）｜2＋｜w¯z（z）｜2＝1.这说……