不定方程y3＝x2＋260642的全部整数解

刘 建，冯 蕾

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

不定方程y3＝x2＋260642的全部整数解

刘 建，冯 蕾

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

借助于平方剩余的理论缩小解的范围，并且运用同余式、二次剩余及一些简单的初等方法，证明了不定方程y3＝x2＋260642仅有整数解（x，y）＝（±1265，123）。

不定方程；初等方法；整数解

1 引言

2 相关引理

引理1不定方程

仅有整数解（a，b）＝（±11，1）。

证明：由（1）可知，b｜361，故b只可能取±1，±19，±361。逐次验算：当b＝1时，不定方程（1）可化为3a2×1－2×13＝361，此时a＝±11；当b＝－1时，不定方程（1）可化为3a2×（－1）－2×（－1）3＝361，此时无解；当b＝19时，不定方程（1）可化为3a2×19－2×193＝361，此时无解；当b＝－19时，不定方程（1）可化为3a2×（－19）－2×（－19）3＝361，此时无解；当b＝361时，不定方程（1）可化为3a2×361－2×3613＝361，此时无解；当b＝－361时，不定方程（1）可化为3a2×（－361）－2×（－361）3＝361，此时无解。综上，该不定方程的整数解是（a，b）＝（±11，1）。

类似地可以证明引理2。

引理2不定方程

仅有整数解（a，b）＝（±11，－1）。

引理3 不定方程

满足条件（x，y）＝1的一切整数解为

证明：请参考文献［3－7］。

3 主要结论及其证明

定理不定方程

仅有整数解（x，y）＝（±1265，123）。

若3a2b－2b3＝361，则由引理1知，a＝±11，b＝1代入（9）式得x＝±1265，y＝123。

若3a2b－2b3＝－361，则由引理2知，a＝±11，b＝－1代入（9）式得x＝±1265，y＝123。

综上所述，不定方程（4）仅有整数解（x，y）＝（±1265，123）。

［1］柯召，孙琦.谈谈不定方程［M］.上海：上海教育出版社，1980：45－61.

［2］李伟.不定方程y3＝x2＋2的初等解法［J］.四川大学学报（自然科学版），1997，1（34）：16－19.

［3］管训贵.不定方程y3＝x2＋1250的全部整数解［J］.河北北方学院学报（自然科学版），2011，27（4）：18－19.

［4］潘承洞，潘承彪.代数数论［M］.山东：山东大学出版社，2001：149－160.

［5］管训贵.不定方程x2－py2＝z2的正整数解［J］.河北北方学院学报（自然科学版），2009，25（5）：5－7.

［6］管训贵.关于不定方程x2＋（p－1）y2＝pz2［J］.河北北方学院学报（自然科学版），2010，26（1）：12－14.

［7］管训贵.关于Diophantine方程y2＝px（x2＋2）［J］.北京教育学院学报（自然科学版），2011，6（1）：1－2.

［责任编辑 毕 伟］

All Integeral Solutions of Diophantine Equation y3＝x2＋260642

LIU JIAN，FENG LEI
（College of Mathematics and Computer Science，Yanan University，Yanan 716000，China）

With the same square residual theory the scale of the solutions are reduced and bymeans of Congruence，quadratic residue and some of the simple elementary method，the diophantine equation y3＝x2＋260642is proved only integer solutions（x，y）＝（±1265，123）.

diophantine equation；elementarymethod；integral solution

O156.4

A

1004－602X（2014）04－0004－02

10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.04.004

2014-10-28

陕西省教育厅科研计划资助项目（2013JK0557）；……