分数傅立叶变换核函数的分析与重构*

张静

(黑龙江建筑职业技术学院)

0 引言

经典傅立叶变换的发展使一类分数傅立叶变换应用得到广泛的推广，当然这是由于分数傅立叶变换具有自己特殊的优势，它具有时频分析的性质，这种分数傅立叶变换具有的性质，能很好的促使这种变换得到越来越多的应用［1－2］. 2003～2006年，冉启文研究了分数傅立叶变换的多样性，通过他的努力，使他得到重大的理论突破，那就是以算子周期性为主要特色和着眼点的分数傅立叶变换多样性的结论，这个结论对于傅立叶变换是个很优美的结论［3］.该文从采样出发研究分数傅立叶变换多样性.

1 对采样的分析

研究中，对采样可以选定一个由特征函数可以构成的基，如{φn(t)|n∈N}和一个GS，如gn，n∈N，这样就可以构造出如下相应的FRFT核函数

简化(1)式中的核函数有

在式(2)中，可以看到:其中Bn=φn(f)φ*n(t)，而且f和t是固定不会改变的.为了表述得更清楚，可以用Tp来表示u(α)一般周期的形式，而在这里F表示一般的频率，请注意式中的Tp=4和F=1/4.同时，对于周期“信号”公式(2)也可以用傅立叶级数的形式表示，如下式

Nm是空集时，Um=0，即m∉G.注意:系数Bn独立于GS gn，否则，傅立叶系数Um依赖于gn.

定理1.1 对于信号u(α)来说，如果它是周期为Tp的周期信号，那么它就会具有有限谐波的支撑σ(u)，C是一个大小为N的单位元，它会包含着σ(u)，可以用C⊃σ(u)表示，那么，对于这个信号就可以利用N个采样u(nT)来表示，T=Tp/N，可以根据下述公式进行完美的重构

对于核函数的采样重构的进行，实际上是求解线性方程组的推导演算过程……