缓存知识：创生学生数学思维的重要资源

孟霞

【摘 要】缓存知识是储存在学生头脑中处于就绪状态，可以随时被提取、随时被灵活使用的知识。后台知识是储存在学生头脑中处于睡眠状态，不能被提取或正确提取、使用的知识。在数学教学中，我们应该努力开发缓存知识，激活后台知识。

【关键词】储存 内存知识 缓存知识 后台知识

储存在学生大脑中的知识类似于电脑中的内存，称为内存知识。根据内存知识被提取和应用的频率，要关注两种存储形态的数学知识：缓存知识和后台知识。

一、两种数学内存知识的内涵诠释

（一）缓存知识：随时面临提取与应用

缓存知识，是储存在学生大脑中处于就绪状态，可以随时被提取、随时被灵活使用的知识。缓存知识是学生知识储存的一种积极状态，对学生记忆、思维、推理等能力的发展，都起到积极的推进作用。按照信息加工学习理论的观点，知识的表征是通过某种节点组成的网络来反映的。缓存知识命题网络的节点，就像通电的灯泡，如果充分被激活，节点与节点之间的联系，就会好似四通八达的电线，畅通无阻。

如图，已知正方形的面积是4cm2，求圆的面积。很多学生认为要求圆的面积必须知道圆的半径或直径，张石同学却说：“圆的面积是πr2，正方形的面积是r2，所以圆的面积就是π×4。”

学生能冲破思维定势的束缚，得益于其大脑中储存的相关命题节点的跳跃打通、超速链接，这就是缓存知识显现的强大能量。

缓存知识的产生主要有两个原因：一是学生在学习缓存知识时倾注了深厚的感情，对缓存知识有深刻的理解；二是缓存知识在学生的学习、生活中用途广泛。

（二）后台知识：遭遇“冷落”

后台知识，是储存在学生的大脑中处于睡眠状态，不能被提取或正确提取、使用的知识。后台知识是学生知识储存的一种消极状态，它容易阻碍学生对知识的掌握，增加他们的记忆负担。对于后台知识，需要编码、搜索、激活命题网络结构中的相关节点，打通节点之间的连接，使短时记忆中的信息同长时记忆中已有的知识结合起来。教学中常会出现这种现象：老师提出问题后，学生恨不得把手举到老师的脸上。可请他回答时，却支支吾吾，和刚才神采飞扬的他判若两人。出现这种现象的原因是刚刚进入学生头脑中的知识还没有打通连接，是一团死的、处于沉睡状态的知识。

后台知识的产生主要有三个原因：一是后台知识一般比较抽象、枯燥，学生学习时在情感上产生了排斥，没有理解；二是后台知识在学生的日常学习、生活中运用不够广泛；三是学生缺乏储存知识的方法，没有养成储存知识的习惯。

（三）两种数学内存知识的联系和区别

缓存知识和后台知识还具有相对性和变化性，有些知识在低年级学生大脑中处于沉睡状态，随着知识的不断累积，后台知识就有可能转化为缓存知识。如二年级学生刚开始学习乘法口诀时，不理解乘法口诀的意义，记忆不牢，在运用时常常出现错误，随着理解的加深、运用频率的增加，学生对乘法口诀烂熟于心，这时乘法口诀就实现了由沉睡状态到缓存状态的转化。

如果处于缓存状态的知识长期得不到应用、巩固，久而久之也有可能转化为沉睡状态的后台知识。比如，随着走上工作岗位，生活重心发生转变，在学生时代掌握熟练、信手拈来的知识就有可能变得生疏，这时缓存知识就转化成了后台知识。

（四）两种数学内存知识的理论基础

两种数学内存知识与我们熟知的学习心理学及部分教育家、哲学家的思想有不谋而合之处。

1.信息加工学习理论。信息加工学习理论把记忆看作人脑对输入的信息进行编码、存储和提取的过程，并按信息的编码、存储和提取的方式不同，以及信息存储的时间长短的不同，将记忆分作：瞬时记忆、短时记忆、长时记忆三个系统。记忆的信息加工流程包括四个方面：感觉摄入信息，加工、编码信息，储存信息和提取信息。在信息加工过程中，以下四个基本的加工操作发挥着重要的作用：注意、复述、编码和搜索。缓存知识处于记忆的最高阶段——长时记忆，学生学习时，就是经历“搜索”加工操作过程，即从长时记忆中寻找、提取信息，并将其应用于问题情境。后台知识则处于信息加工的瞬时记忆、短时记忆阶段，这时候的知识还没有经历注意、复述、编码这三个基本的加工操作过程。

2.波利亚的数学思维活动方式表。在波利亚的思维活动方式表中，用一个正方形对应着解决数学问题的过程中特别重要的四种思维活动：识别、重新配置、回忆、充实。在教学过程中，教师应注意动员起更多的知识，在已有的知识与当前的问题之间建立起更多的接触点，如果这些接触点建立成功，缓存知识就能被成功提取。那些没有被动员起来的知识就是后台知识。

3.波兰尼的缄默知识论。英国著名物理化学家和思想家波兰尼认为：显性知识，就是指通常所说的用书面文字或地图、数学公式来表达的知识。缄默知识相对于显性知识来说是不能被系统表述的知识……基于波兰尼对显性知识和缄默知识的认识，缓存知识应该既包含显性知识也包含缄默知识。同样，后台知识也是如此。

二、数学教学中开发缓存知识的路径探寻

缓存知识是提高学生学习效率的重要载体。在数学教学中，应该注意开发缓存知识，激活后台知识。

（一）挖掘知识本质，构建缓存知识体系

透过数学知识的表面挖掘那些对学生的数学思考、学习起决定性支配作用、能揭示数学知识的基本原理，可以使缓存知识体系得以建构。

1.强化变式训练，让知识理解在变化中清晰。让学生在变式中思维，于变化中弄清楚问题的知识基础、方法与策略，可以使学生对知识有更准确的理解。

教学苏教版四下《画图的策略》一课时，出示下面两道题：（1）一块长方形菜地，长45米，宽32米，由于需要，把它的长增加了13米，宽增加了2米。这块菜地的面积增加了多少平方米？（2）一块长方形菜地，如果长增加8米或者宽增加5米，面积都比原来增加80平方米，这块菜地原来的面积是多少？”

（学生理解题意后，分别画出了上图。）

师：都是长、宽增加，画出的增加部分为什么不一样呢？

生：第二道题多了一个“或者”，就是长增加的时候宽不增加，宽增加的时候长不增加，所以增加的部分下面是不连接的。

学生在变化的情境中，不但激活了相关的后台知识——对“或者”一词的正确理解，还于变化中抓住了事物的本质，即题（2）中的长增加和宽增加是选择关系。对缓存知识的理解是清晰的。

2.树立整体意识，让知识结构在疑问中拓展。课堂临近结束，教师在组织学生回顾、梳理学习过程的基础上，应该注意引导学生提出学习中的疑惑，以实现从课内向课外的延伸，使缓存知识结构得以拓展。如教学苏教版五上《认识公顷》，课尾：

师：你还有什么疑问？

生：有没有比公顷还大的面积单位呢？

师：有啊，大家可以课下查阅相关资料。

在学生思考的基础上建构的缓存知识网络也是开放的，是不断充实、扩张的。

（二）引导判断对比，明晰缓存知识结构

教学中要引导学生对数学知识、解题思路进行必要的讨论、比较，在判断中鉴别，在鉴别中更加明晰缓存知识结构。

1.理性等待，让知识在争论中深刻。有意识地创设“争论式”的情境，给学生设置知识擂台，可以使他们产生认知冲突，在一个个交锋的回合中，启迪学生的思维。教学“乘数中间有0的乘法”时，出示“186×204”：

师：你能用竖式计算吗？

（学生按照乘数中间没有0的方法板演出竖式。）

师（把竖式中的三个0擦掉）：这样行吗？

生1：不行，不符合计算法则。

生2：行，因为0在相加过程中，不影响计算结果，这样计算起来简便……

在教师的理性等待中，在与同伴争论和探索中，学生对学会的新知识印象是最深刻的。

2.适时追问，让知识在创意中精彩。在教学中，灵活选择提问策略，着力提出思维含量高、富有开放性的问题，步步逼近知识的本质，把学生的知识“逼”进缓存状态。区里进行“解决问题”检测，其中有这样一道题目：学校有32个篮球，排球的个数是篮球的2倍，足球比排球与篮球的总数少14个，足球有多少个？学生运用常规算法算出结果后，师：还有其他方法吗？小迪：还可以直接用“32×3-14”，因为“足球比排球与篮球的总数少14个”，而“排球的个数是篮球的2倍”，所以足球比篮球的3倍少14个。创意的想法源于教师的及时跟进和适时追问。

3.讨论鉴别，让知识在比较中凸显。在不断比较中，学生建构的缓存知识体系也更趋优化、简洁。判断“所有的偶数都是合数”“所有的奇数都是素数”时，生：偶数中只有2不是合数，奇数中1、9、15都不是素数，所以不能说所有的奇数都是素数。师：用自己喜欢的方式整理整理吧！在讨论、鉴别中，学生逐渐厘清了知识脉络。

（三）沟通知识联系，扩张缓存知识网络

在新旧知识的衔接处，在承上启下的过渡处，教师应注重横向沟通、纵向拓展，让知识建构成辐射状态，让缓存知识的结构不断扩大。

1.以旧唤新，更新知识体系。教师善于在原有知识的基础上找准教学的切入点，有利于学生顺利地把新知纳入到已有的知识系统中，从而使其建构的缓存知识体系更加牢固。

教学苏教版六下《解决问题的策略——转化》一课时：

师：我们曾经运用转化的策略解决过哪些问题？

生：平行四边形的面积计算公式是转化成长方形推导出来的。三角形、梯形等图形的面积计算公式都是运用转化策略推导出来的。

引导学生把所学图形、计算中用到转化策略的知识进行归类，目的是让学生从中寻找规律，在以旧引新中不断接纳、更新知识体系。

2.由此及彼，扩张知识网络。缓存知识的建构钟情于那些在学习过程中能够触类旁通、举一反三的学生，这样获得的知识，不会以简单的符号形式存在于学生的脑海中。

师：你能根据转化的策略，用分数表示出图（指下图）中阴影部分的面积吗？

生（采用剪、拼的方法）：我发现图中阴影部分的面积是■。

及时把发现的转化策略用于解决“用分数表示阴影部分的面积”的问题，在由此及彼中唤醒了后台知识，开发了缓存知识。

3.反思梳理，统整零碎知识。反思，不该是蜻蜓点水式的应景，而应是入木三分的深情。其一，撰写数学小论文，物化思考结果；其二，组织数学日记评比，鼓励自觉修为。采用一日回顾法、每周一记法、单元梳理法等方法梳理、总结知识，让零散的知识走向系统。

开发缓存知识，激活后台知识，发展学生的创新思维，这是教学改革的趋势，我们应努力让缓存知识成为创生学生数学思维的重要资源。■

【参考文献】

[1]吴增强.学习心理辅导[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013（5）：109-115.

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文特等奖

（作者单位：江苏省连云港市墟沟中心小学）

（学生理解题意后，分别画出了上图。）

师：都是长、宽增加，画出的增加部分为什么不一样呢？

生：第二道题多了一个“或者”，就是长增加的时候宽不增加，宽增加的时候长不增加，所以增加的部分下面是不连接的。

学生在变化的情境中，不但激活了相关的后台知识——对“或者”一词的正确理解，还于变化中抓住了事物的本质，即题（2）中的长增加和宽增加是选择关系。对缓存知识的理解是清晰的。

2.树立整体意识，让知识结构在疑问中拓展。课堂临近结束，教师在组织学生回顾、梳理学习过程的基础上，应该注意引导学生提出学习中的疑惑，以实现从课内向课外的延伸，使缓存知识结构得以拓展。如教学苏教版五上《认识公顷》，课尾：

师：你还有什么疑问？

生：有没有比公顷还大的面积单位呢？

师：有啊，大家可以课下查阅相关资料。

在学生思考的基础上建构的缓存知识网络也是开放的，是不断充实、扩张的。

（二）引导判断对比，明晰缓存知识结构

教学中要引导学生对数学知识、解题思路进行必要的讨论、比较，在判断中鉴别，在鉴别中更加明晰缓存知识结构。

1.理性等待，让知识在争论中深刻。有意识地创设“争论式”的情境，给学生设置知识擂台，可以使他们产生认知冲突，在一个个交锋的回合中，启迪学生的思维。教学“乘数中间有0的乘法”时，出示“186×204”：

师：你能用竖式计算吗？

（学生按照乘数中间没有0的方法板演出竖式。）

师（把竖式中的三个0擦掉）：这样行吗？

生1：不行，不符合计算法则。

生2：行，因为0在相加过程中，不影响计算结果，这样计算起来简便……

在教师的理性等待中，在与同伴争论和探索中，学生对学会的新知识印象是最深刻的。

2.适时追问，让知识在创意中精彩。在教学中，灵活选择提问策略，着力提出思维含量高、富有开放性的问题，步步逼近知识的本质，把学生的知识“逼”进缓存状态。区里进行“解决问题”检测，其中有这样一道题目：学校有32个篮球，排球的个数是篮球的2倍，足球比排球与篮球的总数少14个，足球有多少个？学生运用常规算法算出结果后，师：还有其他方法吗？小迪：还可以直接用“32×3-14”，因为“足球比排球与篮球的总数少14个”，而“排球的个数是篮球的2倍”，所以足球比篮球的3倍少14个。创意的想法源于教师的及时跟进和适时追问。

3.讨论鉴别，让知识在比较中凸显。在不断比较中，学生建构的缓存知识体系也更趋优化、简洁。判断“所有的偶数都是合数”“所有的奇数都是素数”时，生：偶数中只有2不是合数，奇数中1、9、15都不是素数，所以不能说所有的奇数都是素数。师：用自己喜欢的方式整理整理吧！在讨论、鉴别中，学生逐渐厘清了知识脉络。

（三）沟通知识联系，扩张缓存知识网络

在新旧知识的衔接处，在承上启下的过渡处，教师应注重横向沟通、纵向拓展，让知识建构成辐射状态，让缓存知识的结构不断扩大。

1.以旧唤新，更新知识体系。教师善于在原有知识的基础上找准教学的切入点，有利于学生顺利地把新知纳入到已有的知识系统中，从而使其建构的缓存知识体系更加牢固。

教学苏教版六下《解决问题的策略——转化》一课时：

师：我们曾经运用转化的策略解决过哪些问题？

生：平行四边形的面积计算公式是转化成长方形推导出来的。三角形、梯形等图形的面积计算公式都是运用转化策略推导出来的。

引导学生把所学图形、计算中用到转化策略的知识进行归类，目的是让学生从中寻找规律，在以旧引新中不断接纳、更新知识体系。

2.由此及彼，扩张知识网络。缓存知识的建构钟情于那些在学习过程中能够触类旁通、举一反三的学生，这样获得的知识，不会以简单的符号形式存在于学生的脑海中。

师：你能根据转化的策略，用分数表示出图（指下图）中阴影部分的面积吗？

生（采用剪、拼的方法）：我发现图中阴影部分的面积是■。

及时把发现的转化策略用于解决“用分数表示阴影部分的面积”的问题，在由此及彼中唤醒了后台知识，开发了缓存知识。

3.反思梳理，统整零碎知识。反思，不该是蜻蜓点水式的应景，而应是入木三分的深情。其一，撰写数学小论文，物化思考结果；其二，组织数学日记评比，鼓励自觉修为。采用一日回顾法、每周一记法、单元梳理法等方法梳理、总结知识，让零散的知识走向系统。

开发缓存知识，激活后台知识，发展学生的创新思维，这是教学改革的趋势，我们应努力让缓存知识成为创生学生数学思维的重要资源。■

【参考文献】

[1]吴增强.学习心理辅导[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013（5）：109-115.

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文特等奖

（作者单位：江苏省连云港市墟沟中心小学）

（学生理解题意后，分别画出了上图。）

师：都是长、宽增加，画出的增加部分为什么不一样呢？

生：第二道题多了一个“或者”，就是长增加的时候宽不增加，宽增加的时候长不增加，所以增加的部分下面是不连接的。

学生在变化的情境中，不但激活了相关的后台知识——对“或者”一词的正确理解，还于变化中抓住了事物的本质，即题（2）中的长增加和宽增加是选择关系。对缓存知识的理解是清晰的。

2.树立整体意识，让知识结构在疑问中拓展。课堂临近结束，教师在组织学生回顾、梳理学习过程的基础上，应该注意引导学生提出学习中的疑惑，以实现从课内向课外的延伸，使缓存知识结构得以拓展。如教学苏教版五上《认识公顷》，课尾：

师：你还有什么疑问？

生：有没有比公顷还大的面积单位呢？

师：有啊，大家可以课下查阅相关资料。

在学生思考的基础上建构的缓存知识网络也是开放的，是不断充实、扩张的。

（二）引导判断对比，明晰缓存知识结构

教学中要引导学生对数学知识、解题思路进行必要的讨论、比较，在判断中鉴别，在鉴别中更加明晰缓存知识结构。

1.理性等待，让知识在争论中深刻。有意识地创设“争论式”的情境，给学生设置知识擂台，可以使他们产生认知冲突，在一个个交锋的回合中，启迪学生的思维。教学“乘数中间有0的乘法”时，出示“186×204”：

师：你能用竖式计算吗？

（学生按照乘数中间没有0的方法板演出竖式。）

师（把竖式中的三个0擦掉）：这样行吗？

生1：不行，不符合计算法则。

生2：行，因为0在相加过程中，不影响计算结果，这样计算起来简便……

在教师的理性等待中，在与同伴争论和探索中，学生对学会的新知识印象是最深刻的。

2.适时追问，让知识在创意中精彩。在教学中，灵活选择提问策略，着力提出思维含量高、富有开放性的问题，步步逼近知识的本质，把学生的知识“逼”进缓存状态。区里进行“解决问题”检测，其中有这样一道题目：学校有32个篮球，排球的个数是篮球的2倍，足球比排球与篮球的总数少14个，足球有多少个？学生运用常规算法算出结果后，师：还有其他方法吗？小迪：还可以直接用“32×3-14”，因为“足球比排球与篮球的总数少14个”，而“排球的个数是篮球的2倍”，所以足球比篮球的3倍少14个。创意的想法源于教师的及时跟进和适时追问。

3.讨论鉴别，让知识在比较中凸显。在不断比较中，学生建构的缓存知识体系也更趋优化、简洁。判断“所有的偶数都是合数”“所有的奇数都是素数”时，生：偶数中只有2不是合数，奇数中1、9、15都不是素数，所以不能说所有的奇数都是素数。师：用自己喜欢的方式整理整理吧！在讨论、鉴别中，学生逐渐厘清了知识脉络。

（三）沟通知识联系，扩张缓存知识网络

在新旧知识的衔接处，在承上启下的过渡处，教师应注重横向沟通、纵向拓展，让知识建构成辐射状态，让缓存知识的结构不断扩大。

1.以旧唤新，更新知识体系。教师善于在原有知识的基础上找准教学的切入点，有利于学生顺利地把新知纳入到已有的知识系统中，从而使其建构的缓存知识体系更加牢固。

教学苏教版六下《解决问题的策略——转化》一课时：

师：我们曾经运用转化的策略解决过哪些问题？

生：平行四边形的面积计算公式是转化成长方形推导出来的。三角形、梯形等图形的面积计算公式都是运用转化策略推导出来的。

引导学生把所学图形、计算中用到转化策略的知识进行归类，目的是让学生从中寻找规律，在以旧引新中不断接纳、更新知识体系。

2.由此及彼，扩张知识网络。缓存知识的建构钟情于那些在学习过程中能够触类旁通、举一反三的学生，这样获得的知识，不会以简单的符号形式存在于学生的脑海中。

师：你能根据转化的策略，用分数表示出图（指下图）中阴影部分的面积吗？

生（采用剪、拼的方法）：我发现图中阴影部分的面积是■。

及时把发现的转化策略用于解决“用分数表示阴影部分的面积”的问题，在由此及彼中唤醒了后台知识，开发了缓存知识。

3.反思梳理，统整零碎知识。反思，不该是蜻蜓点水式的应景，而应是入木三分的深情。其一，撰写数学小论文，物化思考结果；其二，组织数学日记评比，鼓励自觉修为。采用一日回顾法、每周一记法、单元梳理法等方法梳理、总结知识，让零散的知识走向系统。

开发缓存知识，激活后台知识，发展学生的创新思维，这是教学改革的趋势，我们应努力让缓存知识成为创生学生数学思维的重要资源。■

【参考文献】

[1]吴增强.学习心理辅导[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013（5）：109-115.

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文特等奖

（作者单位：江苏省连云港市墟沟中心小学）