浅析不等式的多样化解题方法

杨志明

一、不等式的解题思路

不等式的解题思路，从本质上来看，体现的是等价转化的思路，可以使用解方程式的思路，将同解不等式逐渐转换成为简化的不等式，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则.在解不等式的过程中不但要能够熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保证每步转化都要是等价变形.

在解不等式时，常常出现不等式组的形式，因此要求不等式组的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式组时，首先应求出组内各个不等式的解集，然后利用数轴的性质取其交集.

二、常见的不等式的解题方法

1.配方法

配方是指将代数式变形为完全平方和常数之和.将符合形式的不等式进行配方，求出与不等式等价的方程的解，再根据不等式的符号求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假设a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，该方程的两个实数解为x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；则不等式的解集为{x|xx1}.

常见的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.换元法

有些不等式在不同的部分出现了相同的未知数表达式，这个表达式使解题思路变得尤为复杂，这时就可以采用换元法来解决.换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不很明确的不等式引入一个或多个变量进行代换，简化原有的结构或实现某种转化与变通，使得解题变得简单明了.常用的有三角代换法和增量换元法这两种思路.

（1）三角代换法.三角代换法就是将三角函数的性质引入来解不等式（组），在符合定义域的情况下，将解不等式（组）转而解三角函数，利用三角函数的性质求出解，最终再化为不等式的解.这种方法在平时做题中经常使用，要引起注意的是，在明确函数的定义域的情况下，灵活的运用该方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由题可知x>0且y>0，因此可以使用三角代换.原不等式可化为xy+1≤axy+1的形式，假设xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），则tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因为sin（θ+π/4）的最大值为1（此时θ=π/4），所以可以得到a的最小值为2.

（2）增量换元法.增量换元法就是用一个简单的变量将不等式中某个复杂的、重复出现的形式替换，先转而求出增量的解，再进行增量还原最终求出不等式的解.这种解题方法简化不等式的形式，突出重点，明晰了解题的思路，快速准确地求出结果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量换元：假设x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，则原不等式可转化为y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y=2或3. 第三步，增量还原，x+1/x=2或3，当x+1/x=2时，x=1；当x+1/x=3时，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最终求出不等式的解集.

3.分类讨论法

对于情况不明确的不等式，要分不同的情况逐一讨论来解不等式.该方法严谨准确，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分类讨论a与0的大小关系；

（1）当a>0时，x-x1和x-x2同号，再进一步分为两种情况，①x-x1和x-x2同时为正，此时x>x2；②x-x1和x-x2同时为负，此时x

（2）当a<0时，x-x1和x-x2异号，再进一步分为两种情况，①x-x1为正，x-x2为负，则x1

由上可得，当a>0时，解集为{x|xx2}；

当a<0时，解集为{x|x1

4.判别式法

在判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根时，除了可以使用配方法，还可以直接运用判别式法，其中Δ=b2-4ac为根的判别式，当Δ=b2-4ac<0时，该方程在实数范围内没有解；当Δ=b2-4ac=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac>0时，该方程有两个不相等的实数根.这种方法在处理不等式的问题时，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，将上式进行转换可得到y（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分类讨论：当y=0时，满足题意.当y≠0时，使用判别式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 综上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范围为[-23/3，23/3].

5.穿针引线法

穿针引线法，也称为标根法，解高次不等式时，常常使用.先将高次不等式化简，求出方程的根，在数轴上进行标根，最后利用规律求出有效的范围.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿针引线法.

穿针引线法的解题口诀：“奇穿偶不穿，符号定区间”.

在使用该方法解题时，一定要注意将未知数x的系数化为1，仔细转化准确的确定不等式的方向，在数轴上标根时，按照根的大小顺序，根据穿针引线法的法则依次穿线才能得到准确的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 将上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由图1可得该不等式的解集为：{x|x<-1或24}

一、不等式的解题思路

不等式的解题思路，从本质上来看，体现的是等价转化的思路，可以使用解方程式的思路，将同解不等式逐渐转换成为简化的不等式，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则.在解不等式的过程中不但要能够熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保证每步转化都要是等价变形.

在解不等式时，常常出现不等式组的形式，因此要求不等式组的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式组时，首先应求出组内各个不等式的解集，然后利用数轴的性质取其交集.

二、常见的不等式的解题方法

1.配方法

配方是指将代数式变形为完全平方和常数之和.将符合形式的不等式进行配方，求出与不等式等价的方程的解，再根据不等式的符号求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假设a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，该方程的两个实数解为x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；则不等式的解集为{x|xx1}.

常见的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.换元法

有些不等式在不同的部分出现了相同的未知数表达式，这个表达式使解题思路变得尤为复杂，这时就可以采用换元法来解决.换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不很明确的不等式引入一个或多个变量进行代换，简化原有的结构或实现某种转化与变通，使得解题变得简单明了.常用的有三角代换法和增量换元法这两种思路.

（1）三角代换法.三角代换法就是将三角函数的性质引入来解不等式（组），在符合定义域的情况下，将解不等式（组）转而解三角函数，利用三角函数的性质求出解，最终再化为不等式的解.这种方法在平时做题中经常使用，要引起注意的是，在明确函数的定义域的情况下，灵活的运用该方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由题可知x>0且y>0，因此可以使用三角代换.原不等式可化为xy+1≤axy+1的形式，假设xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），则tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因为sin（θ+π/4）的最大值为1（此时θ=π/4），所以可以得到a的最小值为2.

（2）增量换元法.增量换元法就是用一个简单的变量将不等式中某个复杂的、重复出现的形式替换，先转而求出增量的解，再进行增量还原最终求出不等式的解.这种解题方法简化不等式的形式，突出重点，明晰了解题的思路，快速准确地求出结果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量换元：假设x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，则原不等式可转化为y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y=2或3. 第三步，增量还原，x+1/x=2或3，当x+1/x=2时，x=1；当x+1/x=3时，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最终求出不等式的解集.

3.分类讨论法

对于情况不明确的不等式，要分不同的情况逐一讨论来解不等式.该方法严谨准确，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分类讨论a与0的大小关系；

（1）当a>0时，x-x1和x-x2同号，再进一步分为两种情况，①x-x1和x-x2同时为正，此时x>x2；②x-x1和x-x2同时为负，此时x

（2）当a<0时，x-x1和x-x2异号，再进一步分为两种情况，①x-x1为正，x-x2为负，则x1

由上可得，当a>0时，解集为{x|xx2}；

当a<0时，解集为{x|x1

4.判别式法

在判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根时，除了可以使用配方法，还可以直接运用判别式法，其中Δ=b2-4ac为根的判别式，当Δ=b2-4ac<0时，该方程在实数范围内没有解；当Δ=b2-4ac=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac>0时，该方程有两个不相等的实数根.这种方法在处理不等式的问题时，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，将上式进行转换可得到y（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分类讨论：当y=0时，满足题意.当y≠0时，使用判别式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 综上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范围为[-23/3，23/3].

5.穿针引线法

穿针引线法，也称为标根法，解高次不等式时，常常使用.先将高次不等式化简，求出方程的根，在数轴上进行标根，最后利用规律求出有效的范围.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿针引线法.

穿针引线法的解题口诀：“奇穿偶不穿，符号定区间”.

在使用该方法解题时，一定要注意将未知数x的系数化为1，仔细转化准确的确定不等式的方向，在数轴上标根时，按照根的大小顺序，根据穿针引线法的法则依次穿线才能得到准确的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 将上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由图1可得该不等式的解集为：{x|x<-1或24}

一、不等式的解题思路

不等式的解题思路，从本质上来看，体现的是等价转化的思路，可以使用解方程式的思路，将同解不等式逐渐转换成为简化的不等式，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则.在解不等式的过程中不但要能够熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保证每步转化都要是等价变形.

在解不等式时，常常出现不等式组的形式，因此要求不等式组的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式组时，首先应求出组内各个不等式的解集，然后利用数轴的性质取其交集.

二、常见的不等式的解题方法

1.配方法

配方是指将代数式变形为完全平方和常数之和.将符合形式的不等式进行配方，求出与不等式等价的方程的解，再根据不等式的符号求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假设a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，该方程的两个实数解为x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；则不等式的解集为{x|xx1}.

常见的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.换元法

有些不等式在不同的部分出现了相同的未知数表达式，这个表达式使解题思路变得尤为复杂，这时就可以采用换元法来解决.换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不很明确的不等式引入一个或多个变量进行代换，简化原有的结构或实现某种转化与变通，使得解题变得简单明了.常用的有三角代换法和增量换元法这两种思路.

（1）三角代换法.三角代换法就是将三角函数的性质引入来解不等式（组），在符合定义域的情况下，将解不等式（组）转而解三角函数，利用三角函数的性质求出解，最终再化为不等式的解.这种方法在平时做题中经常使用，要引起注意的是，在明确函数的定义域的情况下，灵活的运用该方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由题可知x>0且y>0，因此可以使用三角代换.原不等式可化为xy+1≤axy+1的形式，假设xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），则tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因为sin（θ+π/4）的最大值为1（此时θ=π/4），所以可以得到a的最小值为2.

（2）增量换元法.增量换元法就是用一个简单的变量将不等式中某个复杂的、重复出现的形式替换，先转而求出增量的解，再进行增量还原最终求出不等式的解.这种解题方法简化不等式的形式，突出重点，明晰了解题的思路，快速准确地求出结果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量换元：假设x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，则原不等式可转化为y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y=2或3. 第三步，增量还原，x+1/x=2或3，当x+1/x=2时，x=1；当x+1/x=3时，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最终求出不等式的解集.

3.分类讨论法

对于情况不明确的不等式，要分不同的情况逐一讨论来解不等式.该方法严谨准确，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分类讨论a与0的大小关系；

（1）当a>0时，x-x1和x-x2同号，再进一步分为两种情况，①x-x1和x-x2同时为正，此时x>x2；②x-x1和x-x2同时为负，此时x

（2）当a<0时，x-x1和x-x2异号，再进一步分为两种情况，①x-x1为正，x-x2为负，则x1

由上可得，当a>0时，解集为{x|xx2}；

当a<0时，解集为{x|x1

4.判别式法

在判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根时，除了可以使用配方法，还可以直接运用判别式法，其中Δ=b2-4ac为根的判别式，当Δ=b2-4ac<0时，该方程在实数范围内没有解；当Δ=b2-4ac=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac>0时，该方程有两个不相等的实数根.这种方法在处理不等式的问题时，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，将上式进行转换可得到y（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分类讨论：当y=0时，满足题意.当y≠0时，使用判别式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 综上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范围为[-23/3，23/3].

5.穿针引线法

穿针引线法，也称为标根法，解高次不等式时，常常使用.先将高次不等式化简，求出方程的根，在数轴上进行标根，最后利用规律求出有效的范围.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿针引线法.

穿针引线法的解题口诀：“奇穿偶不穿，符号定区间”.

在使用该方法解题时，一定要注意将未知数x的系数化为1，仔细转化准确的确定不等式的方向，在数轴上标根时，按照根的大小顺序，根据穿针引线法的法则依次穿线才能得到准确的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 将上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由图1可得该不等式的解集为：{x|x<-1或24}