分立的一维β—FPU晶格中周期的准周期的和混沌呼吸子

田 强，徐 权

分立的一维β—FPU晶格中周期的准周期的和混沌呼吸子

田 强1，徐 权2

（1.北京师范大学物理系，北京100875；2.大庆师范学院物理与电气信息工程学院，黑龙江大庆163712）

通过对带有色散项的β—FPU模型的研究，利用在全振子的线性相互作用项中引入一个周期相互作用项，成功将其时空进行了分离变量处理，进而得到了周期的、准周期的和混沌的呼吸子存在于带有色散项的一维分立β—FPU晶格中的证据。

β—FPU晶格；周期呼吸子；准周期呼吸子；混沌呼吸子

0 引言

自从Sievers和Takeno发现了分立呼吸子［1］（一种时间上具有周期性，空间上具有局域性质的模型），几十年来非线性晶格系统的局域激发一直是能量局域性质及传输领域的研究热点，而且越来越被众多学者专家重视。随后，特殊FPU晶格模型中呼吸子存在的证据被大量获得。例如双原子FPU晶格中的呼吸子和禁带呼吸子，β—FPU问题［2－6］，FPU链中呼吸子的非拓扑动力学［7－8］，FPU链中扭结孤子与呼吸子之间的相互作用［9］，FPU晶格中亮呼吸子和暗呼吸子［10－11］等等。

接下来的突破是在哈密顿晶格的研究中发现了准周期的和混沌的呼吸子存在的证据。准呼吸子是由Johansson和Aubry引入的，［12］准呼吸子的典型特征可以作如下描述：在反连续极限条件下，准周期解很容易获得，其特征就是不同位置的振子具有不成比例的频率ωn。最简单的是两个位置的振子分别具有ω1和ω2两个不成比例的频率，而其它振子是静止的。混沌呼吸子是由Cretegny等引入的，混沌呼吸子的典型特征可以描述如下［13］：最初最高频率（π－mode）不稳定的微扰导致了一定数量的局域的类呼吸子结构凝聚系统的能量，随后进一步退化为少量的局域结构和一个高能量的峰，他们在相对长的时间内是稳定的，每个局域结构类似呼吸子，但运动无规律。在大多数情况下，混沌呼吸子最后将塌陷在一个热状态（平衡态）。这种居于激发与呼吸子明显的不同是前者是在个不规范（混沌）路径运动的，而且大多数只有有限的寿命，因此被命名为混沌呼吸子。

最近的一些研究主要是探索准周期呼吸子和混沌呼吸子的行为。但是这些研究都只限于没有色散项的简单FPU模型［14－17］。本文将探索带有色散项的FPU模型中准周期呼吸子和混沌呼吸子的情况。

1 分立的一维β—FPU晶格中周期的、准周期的和混沌呼吸子

具有N个质量相等原子非线性耦合成的FPU系统的运动方程可以写成：α模型

β模型

这里un是粒子离开原始平衡位置的位移。假定解可以写成纯空间和时间乘积的形式：

方程（4）和（5）右边都是不依赖于时间的空间项，左边是时间项与空间项δ0n的混合。当δ0n是一个常数时α模型没有解，所以，这里只研究β模型有

方程（7a）的数值解如图1所示

图1 显示方程（7a）具有空间局域解。方程（7b）的数值解如图2所示

（a），（b）是方程（7b）周期性解的相轨迹和振动曲线其中K＝1，β＝±1及＝1；（c），（d）是方程（7b）准周期性解的相轨迹和振动曲线其中K＝1＋0．2cos（2．368t），β＝±1及＝1；（e），（f）是方程（7b）混沌解的相轨迹和振动曲线其中K＝1＋0．8cos（2．368t），β＝±1及＝1。

图2（a）和（b）显示带有线性色散项的一维β－FPU模型具有稳定的呼吸子。图2（c）和（d）给出在线性色散项中引入一个周期性调幅的系数，带有线性色散项的一维β－FPU模型中也具有准周期呼吸子。这种在线性色散项中引入周期性驱动参数情况可以在实验中完成。图2（e）和（f）给出在线性色散项中引入一个周期性调幅的系数，带有线性色散项的一维β－FPU模型中也具有混沌呼吸子。

3 结语

本文对带有色散项β－FPU模型进行研究，巧妙地将其进行了空间和时间的分离，进而获得了精确的呼吸子。同时通过在全体振子的线性色散项中引入一个周期性驱动项实现了两个具有不成比例频率的单个呼吸子的耦合，进而得到了准周期呼吸子和混沌呼吸子在具有线性色散项β－FPU模型中存在的证据。本文将对在实验中获得准周期呼吸子和混沌呼吸子具有很强的理论指导意义。

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0431

A

2095－0063（2014）03－0022－03

2014－03－15

田强（1961－），男，北京人，北京师范大学物理系教授，博士生导师，从事非线性输运理论、半导体量子点光学性质和电学性质、bose爱因斯坦凝聚等领域研究。

国家自然科学基金（11247255）。

DOI 10.13356／j.cnki.jdnu.2095－0063.2014.03.006