基于参数Bootstrap方法的双参数指数分布可靠寿命的置信下限

吴波, 袁守成, 杨吉英

(普洱学院 数学与统计学院，普洱 665000)

1 引 言

双参数指数分布是可靠性统计分析中的一项重要寿命分布，具有广泛的应用.它常被用于刻画伺服机构、车辆、泵等产品的寿命，其概率密度函数为

其中σ>0是尺度参数，-<μ<是位置参数，有时也被称为门限参数或保证时间参数.

设某产品服从双参数指数分布，则它的可靠寿命为

tR=μ-σlnR

其中R为产品的可靠度.由于可靠寿命是工程上感兴趣的可靠性测度，对于双参数指数分布的定数截尾数据，我们想建立tR的置信下限.关于产品可靠寿命tR的置信限问题在一些文献中已经有过讨论.如Guenther[1]、Dunsmore[2]分别讨论了在完全样本的情况下，tR的精确置信下限和近似上下限，Engelhart-Bain[3]给出了当tX(1)时tR的近似下限，但是没有对其给出的置信下限的覆盖率进行讨论.周源泉等[4]给出了tR的精确置信下限的计算公式，但此公式在可靠度R较小时需要解非线性方程，不利于应用.董岩等[5]利用广义枢轴量的方法给出了广义置信下限，虽然结果在形式上与周源泉给出的置信下限一致，但当n>lnγ/lnR(γ为显著性水平)时却没有明确的表达式，这给计算带来了不便.

本文将利用一种新的参数Bootstrap方法建立双参数指数分布可靠寿命tR的广义置信下限.由这种方法确立的tR置信下限，具有常用置信限的结构形式，而且计算简单，易于掌握，可应用到具体问题中.一些研究者已经利用这种参数Bootstrap方法成功地解决了参数估计的若干问题，如：Krishnamoorthy[6]利用这种方法处理了不等方差情形下的方差估计问题，Sadooghi-Alvandi[7]使用该方法给出了多对数正态分布的联合置信区间.但使用这种参数Bootstrap方法解决双参数指数分布可靠寿命的研究几乎没有，因此本文使用参数Bootstrap方法对双参数指数分布可靠寿命的置信下限进行了研究.

2 可靠寿命的广义置信下限

2.1 统计量的构造

设产品的使用寿命服从双参数指数分布，从中随机抽取n个产品在一定条件下进行无替换定数截尾寿命实验，事先规定的失效数为r≤n，所得的定数截尾样本记为X(1)≤X(2)≤…≤X(r),下面建立可靠寿命tR=μ-σlnR的广义置信下限.

首先，试验总时间为

从而可得到可靠寿命tR的无偏估计量为

(1)

且U和V相互独立.其中χ2(m)表示自由度为m的卡方分布.

(2)

我们知道利用参数Bootstrap方法，T分布是可以计算出来的.如果用qα表示T分布的1-α的分位数，则可以得到可靠寿命tR在置信水平1-α下的广义置信下限

下面考察统计量T的分布

将式(1)代入上式中，整理可得

(3)

由此可见，T分布是关于变量U和V的函数，由于U和V的分布已知，故可用参数Bootstrap方法对T分布给予估计.

2.2 基于参数bootstrap方法可靠寿命的置信区间

设变量T的分布函数为FT(t)，若满足

FT(qα)=P(T≤qα)=1-α

则qα为T的上α分位点.

这里给出的T是一个广义枢轴量，通常情况下，广义置信上限不一定是频率意义下的精确置信上限，即广义置信上限的覆盖率不一定等于要求的置信水平.但是下面的引理说明qα恰好是我们所需要的精确置信上限.

引理1 设FT(t)为随机变量T的分布函数，qα为T的上α分位点， 则qα恰好是T分布频率意义下精确置信上限，即

P(T>Tα)=α

证设(U*,V*)是(U,V)的一个复制，即

注意到FT(qα)=1-α，从而

从而，P(T>qα)=1-P(T≤qα)=1-(1-α)=α.证毕！

存在上α分位点qα，则tR具有频率意义下的实际置信水平为1-α的置信下限

证

=P(T

利用Monter Carlo模拟方法，qα的值是可以被估计出来的，可按下列步骤进行：

(ⅰ)首先从服从双参数指数分布的n个样品中产生r个定数截尾数据，并确定可靠度R；

(ⅱ)生成随机数U～χ2(2)和V～χ2(2r-2)，U和V相互独立，并且计算出T；

(ⅲ)设N是很大的一个数，重复步骤(ⅱ)N次，由此获得T的经验分布，便可近似得到T分布的上α分位点qα.

我们给出的方法比文献[3]和[4]给出的方法更简单，在计算机上更容易实现.下面的数值分析表明，基于参数Bootstrap方法给出的广义置信下限不仅易于计算，在精度方面也令人满意.

3 数值模拟

总之，tL(R)计算简单，计算速度较快，且具有令人满意的覆盖率性质，在应用中值得推荐.

表1 基于tL(R)和的置信区间的覆盖率比较(n=k=10，1-α=0.95)

表2 基于tL(R)和的置信区间的覆盖率比较(n=10，k=6,1-α=0.95)

4 实例分析

图1 两种方法的比较图

[1] GUENTHER W C,PATIL S A,UPPULURI V R R.One-sided β-constant tolerance factors for the two-parameter exponential distribution[J].Technometrics,1976,18(3):333-340.

[2] DUNSMORE I R. Some approximation for tolerance factors for the two-parameter exponential distribution[J].Technometrics,1978,20(3):317-318.

[3] ENGELHARDT M,BAIN L J.Tolerance limits and confidence limits on reliability for the two parameter exponential distribution[J].Technometrics,1978,20(3):37-39.

[4] 周源泉，刘文生，田胜利.双参数指数分布的可靠性评估(Ⅱ)[J].质量与可靠性，2004 (2)：19-24.

[5] 董岩，徐兴忠，杨雪姣.双参数指数分布的可靠寿命的广义置信下限[J].系统科学与数学，2008，28(a):1109-1117.

[6] KRISHNAMOORTHY K,LU F,MATHEW T.A parametric bootstrap approach for ANOVA with unequal variances:fixed and random models[J].Computational Statistics and Data Analysis,2007,51:5731-5742.

[7]SADOOGHI-ALVANDI S M,MALEKZADEH A.Simultaneous confidence intervals for ratio of means of several lognormal distributions:A parametric bootstrap approach[J].Computational Statistics and Data Analysis，2014,69:133-140.

[8] EPSTEIN B,SOBEL M.Some theorems relevant to life testing from an exponential distribution[J].Ann.Math.Stat,1954,25:373-381.

[9] LAWLESS J F.Statistical Models and Methods for Lifetime Data[M].New York:John Wiley,1982.