亚正定矩阵的基本性质

黄 毅，欧 鹏

(1.成都大学信息科学与技术学院，四川 成都 610106;2.模式识别与智能信息处理四川省高校重点实验室，四川 成都 610106)

亚正定矩阵的基本性质

黄 毅1，2，欧 鹏1，2

(1.成都大学信息科学与技术学院，四川 成都 610106;2.模式识别与智能信息处理四川省高校重点实验室，四川 成都 610106)

论述了作为广义正定矩阵的亚正定矩阵的一些基本性质.

亚正定矩阵;实对称正定矩阵;特征值

0 引言

对于矩阵正定性的研究，研究人员过去一直局限于实对称矩阵和 Hermite矩阵.例如，1970年，Johnson［1］引入了不再局限于实对称矩阵和Hermite矩阵的实正定矩阵的概念，随后，Horn等［2］提出了实正定矩阵的定义，李炯生［3］对这类广义正定矩阵的性质和特征做了较深入的研究，屠伯埙［4］提出了亚正定矩阵的概念，并对其做了较系统的论证与研究［4－5］.事实上，实正定矩阵实际上就是亚正定矩阵，这两个概念是等价的［4］，它们都是把实对称矩阵的限制去掉了.本研究使用亚正定矩阵的概念，将着重论述亚正定矩阵的一些重要的基本性质.除特别说明的地方外，本研究所讨论的矩阵皆为实方阵.

先说明一些本研究所使用的符号:Mn(P)表示数域P上n阶方阵的集合;Rn×1表示全体n维实列向量集合;AT表示矩阵A的转置;¯A表示矩阵A的复共轭;A*表示矩阵A的共轭转置，即A*=;λ(A)表示方阵A的特征值;Reλ表示复数λ的实部;Imλ表示复数λ的虚部.

1 定 义

定义1 矩阵A∈Mn(R)称为对称矩阵，是指A=AT;如果A=－AT，则称之为反对称矩阵;矩阵A∈Mn(C)称为Hermite矩阵，是指A=A*.

定义2 n阶实对称矩阵A称为实对称正定矩阵，如果对于任一非零实向量，X∈Rn×1，都有XTAX＞0.

事实上，实方阵可惟一地表示成，A=(A+AT)/2+(A－AT)/2的分解形式.令，R(A)=(A+AT)/2，S(A)=(A － AT)/2，则，A=R(A)+S(A).其中:R(A)是对称阵，称为方阵 A的对称分支;S(A)是反对称阵，称为方阵A的反对称分支.以下的分解式，A=R(A)+S(A)，均指这种意义的分解.

定义3［1－3］设A∈Mn(R)，如果对于任一非零实向量，X∈Rn×1，都有XTAX ＞0，则称A为实正定矩阵.

定义4［4］如果实方阵A的对称分支R(A)是实对称正定阵，则称A为亚正定矩阵.

由于实正定矩阵和亚正定矩阵这2个概念是等价的［4］，故本研究使用亚正定矩阵的概念.“亚”字在汉语里有“次一等”的意思，顾名思义，亚正定矩阵就是满足的条件少于普通的实对称正定矩阵的正定矩阵.

引理1{实对称正定矩阵}⊆{亚正定矩阵}

证明 任给A{实对称正定矩阵}，则，R(A)=(A+AT)/2=A是实对称正定矩阵，根据定义3即得，A∈{亚正定矩阵}.因此，{实对称正定矩阵}⊆{亚正定矩阵}.

定义5 一个方阵中相同的行标和列标的行和列的交叉元素所形成的矩阵称为这个方阵的主子阵.

定义6［4］主子式(主子阵的行列式称为主子式)全大于零的实阵称为完全主正阵.

2 亚正定矩阵的一些基本性质

定理1 两个亚正定矩阵之和仍是亚正定矩阵.

定理2 亚正定矩阵的正线性组合仍是亚正定矩阵.即，设ai＞0，Ai∈Mn(R)是亚正定矩阵，i=1，2，…，m，则是亚正定矩阵.

定理3 如果A是亚正定矩阵，S是反对称实阵，则A+S是亚正定矩阵.

这是因为，R(A+S)=R(A)是实对称正定矩阵.

引理2［4］亚正定矩阵必是完全主正阵.

由此显然有，

定理4 亚正定矩阵的行列式必大于零.

从而有，

定理5 亚正定矩阵是非奇异矩阵.

定理6 亚正定矩阵A的主对角元素akk(k=1，2，…，n)全为正实数.

证明 因为A亚正定，故A为完全主正阵，所以，A的主子式全大于零.特别地，其一阶主子式也全大于零，即，

一个实方阵A的特征值λ是一个复数，可以惟一地分解成实部Reλ和虚部Imλ之和，而一个实方阵也可惟一地分解成对称分支R(A)和反对称分支S(A)之和.另外，矩阵的特征值可以看成是反映矩阵特征的数.例如，实对称矩阵的特征值是实数，实反对称矩阵的特征值是纯虚数或零，实对称正定矩阵的特征值是正实数，等等.根据矩阵和数的这种类比关系，可以从直觉上很自然地产生这样的问题:实方阵A的任一特征值λ的实部是否可以看成和A的对称分支R(A)对应，虚部是否可以看成和反对称分支S(A)对应呢?如果是的话，λ的实部是否可以由A的对称分支R(A)来确定，虚部是否可以由A的反对称分支S(A)来确定呢?

引理3 (实方阵特征值的实部和虚部的表达式)设实方阵A的特征值λ对应的特征向量为X，则，

其中，i为虚数单位;i2=1.

证明 由AX=λX得，

再得到，

即，

式(1)两端取转置共轭得，

式(2)+(3)得，

式(2)－(3)得，

注:引理3给出了实方阵A的特征值的实部Reλ由A的对称分支R(A)来确定的等式，以及虚部Imλ由A的反对称分支S(A)来确定的等式.

引理4［4］(Rayleigh-Ritz定理)设A∈Mn(C)是Hermite矩阵，则，

引理5(实方阵的特征值范围)若A=R(A)+S(A)+Mn(R)，则，

证明 R(A)是实对称矩阵，所以是Hermite矩阵，由引理3及引理4，对实方阵A的特征值λ(A)和对应的特征向量X有，

又因为，

所以，－iS(A)是Hermite矩阵.又，

故同样有，

注:①当A为实对称矩阵时，可以看出式(4)和(5)都是成立的.

②由式(4)和(5)可知，在复平面上，实方阵A的特征值λ(A)分布于以下4个点:

为顶点的闭矩形域内，具体如图1阴影部分所示.

图1 复平面上实方阵A的特征值范围

③引理5给出了实方阵A的特征值实部Reλ的范围由A的对称分支R(A)来确定的不等式(4)和虚部Imλ的范围由反对称分支S(A)来确定的不等式(5).式(4)表明，实方阵A的特征值的实部Reλ处在对称分支R(A)的特征值λ(R(A))(是实数)的最小值和最大值之间;式(5)表明，实方阵A的特征值的虚部Imλ处在反对称分支S(A)的特征值λ(S(A))(是纯虚数或零)乘上 －i所得的实数－iλ(S(A))的最小值和最大值之间.

总之，引理3和引理5表明，实方阵A的特征值λ的实部Reλ和A的对称分支R(A)对应，其数值和范围可以由R(A)来确定，λ的虚部Imλ和A的反对称分支S(A)对应，其数值和范围可以由S(A)来确定.

有了引理3和引理5作基础，就很容易得出亚正定矩阵特征值的性质.

定理7 亚正定矩阵A的特征值的实部为正实数，即，Reλ(A)＞ 0.

证明 因为A是亚正定矩阵，故R(A)是实对称正定矩阵，从而λ(R(A))＞0，亦有，

由式(4)得，

因此，Reλ(A)＞ 0.

注意，定理7的逆命题不一定成立，即，特征值实部为正实数的实矩阵不一定是亚正定矩阵.例如，，它的2个特征值为1，1，实部都大于零，但，不是实对称正定矩阵，从而A不是亚正定矩阵.

定理8 亚正定矩阵集合为一凸集，即，若A、B是亚正定矩阵，则对任意实数t∈［0，1］，tA+(1－t)B是亚正定矩阵.

证明 因为亚正定矩阵的定义和实正定矩阵的定义是等价的，所以，如果A、B是亚正定矩阵，那么对于任一非零实向量X∈Rn×1，都有XTAX ＞0和XTBX＞0.又t与1－t不同时为零，并且都在闭区间［0，1］之内，所以对于任一非零实向量 X ∈Rn×1，XT［tA+(1 － t)B］X=tXTAX+(1 － t)XTBX ＞ 0.

因此，tA+(1－t)B是亚正定矩阵.

［1］Johnson C R.Positive definite matrices［J］.The American Mathematical Monthly，1970，77(3):259 －264.

［2］Horn R A，Johnson C R.Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1985.

［3］李炯生.实方阵的正定性［J］.数学的实践与认识，1985，15(3):67－73.

［4］屠伯埙.亚正定阵理论(I)［J］.数学学报，1990，33(4):462－471.

［5］屠伯埙.亚正定阵理论(II)［J］.数学学报，1991，34(1):91－94.

［6］李正良，钟守铭，黄廷祝.矩阵理论及应用［M］.成都:电子科技大学出版社，1996.

Basic Properties of Metapositive Definite Matrices

HUANG Yi1，2，OU Peng1，2
(1.School of Information Science and Technology，Chengdu University，Chengdu 610106，China;2.The Key Laboratory for Pattern Recognition and Intelligent Information Processing of Higher Education Institutes of Sichuan Province，Chengdu University，Chengdu 610106，China)

This paper gives several basic properties of meta positive definite matrices as one of generalized positive definite matrices.

metapositive definite matrix;real symmetric positive definite matrix;eigenvalue

O151.21

A

1004－5422(2014)01－0020－04

2013－11－12.

成都大学校科技基金(2013XJZ08)资助项目.

黄 毅(1974—)，男，博士，讲师，从事计算机数值分析研究.