关于S－拟正规性的一些必要条件

王 芬，徐颖吾

(西安工程大学 理学院，西安710048)

1 引言与预备知识

本文所涉及的群都是有限群.有限群子群的性质和群的结构之间有着非常密切的关系，长期以来，利用有限群的各种子群描述群的性质及结构，在有限群的研究中占据着重要地位，具有方法上的意义.1939 年，O·Ore［1］提出了比正规子群更弱的概念，称群G的一个子群H在G中拟正规，如果H同G的每个子群相乘可交换.1962年，O·H·Kegel［2］引进了拟正规子群的推广概念S－拟正规子群，称G的子群H在G中S－拟正规的，如果H同G的每个Sylow子群相乘可交换.S－拟正规子群有许多比拟正规子群更有趣的性质，比如，若H为G的S－拟正规子群，那么H为G的次正规子群［2］且H/HG为幂零群，再者，如果，H≤K≤G，那么H为K的S－拟正规子群.关于S－拟正规性还有其他更有趣的推广［4－8］.何宣丽 2006［9］年提出了 Md(P)的概念:设d为p－群P的最小生成系所含元素个数，定义集合 Md(P)={P1，…，Pd}，其中 P1，…=，Pd是P的极大子群且满足 Φ(P)，Φ(P)为P的Frattini子群.利用Md(P)研究有限群的结构，很大程度上改进了一些最近的相关结果.例如，对一有限群G，有两个等价结论:1)G是超可解的;2)存在G的正规子群H使得G/H是超可解的且对于H的任意Sylow子群P，对某个固定的Md(P)，该集合的任一元素在G中是c正规(或S－拟正规嵌入的)并且还给出了关于Md(P)的其他的应用.本文不再论述.本文在关于研究S－拟正规子群的性质的思路上，利用有限群的具有某些性质的子集具有－拟正规性来刻画有限群的结构.

正是因为S－拟正规子群具有各种各样的性质，对于S－拟正规子群做以下推广:

定义1［9］设d为p－群p的最小生成系所含元素个数，定义集合 Md(P)={P1，…，Pd}，其中P=1，…，Pd是的极大子群且满足 Φ(P)，Φ(P)为P的Frattini子群.

引理2［10］若G是一有限群，G的任意一Sylow子群的所有极大子群是S－拟正规的，则G是超可解的.

定义3［11］群G的子群A叫做G的半正规子群，如果存在一个子群B，使得AB=G，且对于B的任意真子群B1有AB1＜G.B叫做A在G中的S－补，A在G中的S－补的全体记为:SG(A).

定义4［12］设G是有限群，称Z是群G的一个Sylow子群完全集.如果对|G|的每个素因子p，Z包含G的一个Sylow－p且仅一个子群.

引理5 设Z是群G的一个Sylow子群完全集.如果对任意Gp∈Z，Gp的每个极大子群都是Z－半置换的，则G是超可解.

何先应［12］于2006年提出了Sylow子群完全集的定义，并且利用其刻画有限群的结构.Asaad M和Heliel A A［13］指出:设Z是群G的一个Sylow子群完全集，U是G的一个Z可置换的子群，N是G的正规子群，则Z∩N和ZN/N分别是N和G/N的Sylow子群完全集.

2 主要结果及其证明

定理1 设 Md(P)={M1，M2，…Md}⊂M=Φ(P)，且(P)，若Md(P)在G中具有S－拟正规性，则G超可解.

证明:Md(P)在G中S－拟正规，即对∀Q∈Syld(G)，有QMd(P)=Md(P)Q即有对∀i，存在j(1≤i≤d，1≤j≤d)使得 QMi=MjQ.

1)若 i=j;即 Mi=Mj，有 QMi=MiQ，由于 Q 是G的任意的Sylow子群，从而Mi有在G中S－拟正规，又由i的任意性知，G的任意Sylow子群的极大子群是G的S－拟正规子群，由引理2，得G为超可解群.

2)若 i≠j;Mi，Mj都是 P 的极大子群，QMd(P)=Md(P)Q，存在 j(1≤i≤d，1≤j≤d)使得 QMi=MjQ，Mi＜·P，Mj＜ ·P，故有 Mi◁P，Mj◁P，又由于PQ=QP，则 MiQ◁PQ，MiQ◁QP，QMiQ◁QP，而 MiQ≤PQ=QP=QMiP=MjQP，故 QMjP≤MjQP，从而有 QMj≤MJQ.同理有 MjQ≤QMj，从而得MjQ=QMj，即G为超可解群.

综上可得，G为超可解群.

定理2 S－拟正规子群必为半正规.

证明:设H≤G，且H为G的S－拟正规子群，即对∀P∈Sylp(G)，有HP=PH，故存在G的包含P的极大子群M(P＜M＜·G)，使得HP＜HM＜HG=G，而M＜HM＜G，故HM=G，从而M为H在G中的补，且对于∀M1＜M，有∀HM1＜HM=G，由定义3，得H叫做G的半正规子群.

推论1 有限群的S－拟正规子群或者是次正规的，或者是半正规的.

证明:根据(文献3)和定理2可得.

定理3 若集合的每一元素都是G的S－拟正规子群，则群G是超可解.

证明:令 Z={Gp1，Gp2，…Gpd}是 G 的 Sylow 子群完全集，且 p1＜p2＜ … ＜pd，设任意 Gp∈Z，M 为Gp的任一极大子群，Gq∈Z，Gq∈Sylp(G)，由于 Gp在中S－拟正规的，故 GpGq=GqGp，而 M ＜MGq＜Gp＜Gq=GqGp＜G，故有 MGq=G，M ＜GqM ＜GpGq=GqGp＜ G，有 GqM=G，从而 GqM=MGq，由于 Gq为G的任意Sylow子群，而Gp为Z中的任意元素，从而Gp的极大子群M在G中是Z－半置换子群，由Gp和M的任意性可知;G的任意Sylow子群的极大子群在G中都是Z－半置换的，由引理5，有G为超可解群.

3 结语

本文主要讨论了关于S－拟正规性的部分应用，定理1减少了之前关于超可解群的要求，使得我们判断一个群是否为超可解群提供了方便.由定理2，可知S－拟正规子群拥有半正规子群的所有性质.定理3将S－拟正规性进一步推广到完全分类集中，更加方便了之后关于S－拟正规子群的研究.

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