求解HJB方程的两类迭代法研究

杨建鹅，黄晓梅

(江西师范大学数学与信息科学学院，江西 南昌330022)

0 引言

HJB方程最早出现于用动态规划解最优控制问题，之后在科学、工程、经济领域中得到广泛应用［1～5］。本文考虑如下HJB方程:

其中，Ω是R2上的有界区域，∂Ω为Ω充分光滑的边界，Fj为光滑函数，Lj为如下二阶椭圆算子:

对方程(1)采用有限差分法或有限元方法进行离散，可以得到如下离散格式的 HJB方程［6～8］:

其中，Aj∈Rn×n，Fj∈Rn，j=1，2，…，k。方程(2)是非光滑的方程组。

条件A:Aj=()，j=1，2，…，k，是L矩阵(即≤0，p≠q，p，q=1，2，…，n)且Aj，j =1，2，…，k，是严格对角占优的。

目前人们提出了很多迭代算法解离散HJB方程［8～14］。本文基于上下解策略，提出两类新的迭代法求解方程(2)，该算法的特点是简单易行。下面给出上解集和下解集的定义。

1 算法

下面给出求解离散HJB方程的两类算法。

1.1 算法1(Jacobi型迭代算法)

第1步:取ε＞0，初始值U0∈S1，m∶=0;

第2步:计算

第3步:如果‖Um+1－Um‖＜ε，则停止计算;否则令m∶=m+1，转第2步。

1.2 算法2(Gauss-Seidel型迭代算法)

第1步:取ε＞0，初始值U0∈S1，m∶=0;

第2步:计算

第3步:‖Um+1－Um‖＜ε，则停止计算;否则令m∶=m+1，转第2步。

注:当k=1时，算法1、算法2分别为求解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。若U0∈S0，算法1和算法2也是收敛的。

2 算法的收敛性

这一节，给出算法1和算法2的收敛性定理。在证明算法1和算法2的收敛性定理之前，先给出几个重要的引理。

引理1［9］:设系数矩阵Aj，j=1，…，k，满足条件A或条件B，那么对任意的sl(l=1，…，n)，矩阵A(s1，…，sn)为M矩阵。

引理2:设系数矩阵Aj，j=1，…，k，满足条件A或条件B，且{Um}是算法1产生的迭代序列，那么{Um}是一个单调下降的上解序列，即{Um}⊆S1且Um+1≤Um，m=0，1，2，…。

证明:既然U0∈S1，由归纳法原理，只需要证明对任意m，若Um∈S1，则Um+1∈S1，且Um+1≤Um。

由算法1及上述不等式知

从而Um+1≤Um。

由算法1的第2步知:

那么存在某个ji(1≤ji≤k)，使得