一类多参数平面微分系统的全局结构分析

刘艺艺，窦霁虹，赵红妮

(西北大学数学系，陕西 西安710127)

0 引言

平面多项式微分系统的定性理论在微分方程定性理论中占有重要地位，对它的研究大多集中在一个具体的系统。对于参数系统的研究具有重要的意义，当参数取定为某一值时，系统就成为一个新的系统，这样只需对一类参数系统进行研究，就可以得到一系列系统的随参数变化的性质。系统参数研究的方法一般是将其余参数看成常量，将要研究的参数看成唯一变量，对其进行研究［1，2］;或者构造高阶方程，通过对高阶微分方程的研究确定原始系统的性质［3］;还有利用不等式分析方法，通过放大或缩小不等式来寻找满足结果的若干条件［4］;或是选取适当的条件，反过来求解参数应该满足的范围［5～11］。基于以上参数系统的研究方法，本文主要对系统

在a＞0时进行定性分析，得到系统极限环的不存在性、存在唯一性的一些充分条件，并分析出系统参数变动对系统性态是如何影响的。

1 系统有限远奇点分析

求解方程组

当δ≥2时，O(0，0)为不稳定的结点;当0＜δ＜2时，O(0，0)为不稳定的焦点;当－2＜δ＜0时，O(0，0)为稳定的焦点;当δ≤－2时，O(0，0)为稳定的结点。

当δ=0时，O(0，0)为(1)对于线性系统的中心，应用形式级数法，得到:

(ⅰ)当l＞0时，O(0，0)为稳定的焦点。

(ⅱ)当l＜0时，O(0，0)为不稳定的焦点。

(ⅲ)当l=0时，系统(1)化为

(4)当n＜0时，

2 系统无穷远奇点分析

2.1 对系统(1)作Poincare第一变换

系统(4)在B(u，0)对应的线性部分矩阵为

(1)当n＞0，l≥0时;

(2)当n＞0，l＜0时:

(3)当n＜0时可类似的进行讨论。

2.2 对系统(1)作Poincare第二变换

当n≠0时，D(0，0)不是系统(6)奇点;当n =0时，D(0，0)是系统的高阶奇点。……