解析法设计阶梯型变幅杆可靠性研究＊

蔡耀中，吴立群，杨贤龙

（杭州电子科技大学 机电工程学院，浙江 杭州 310018）

0 引言

超声变幅杆是连接换能器和工具的过渡元件，在不考虑工具负载的情况下，变幅杆的振动问题实际上是在换能器输出端机械信号谐响应下的受迫振动问题。根据振动理论，要得到工具端面最大的振动幅值，应使得设计的变幅杆固有频率和工作频率相同，也即使得变幅杆在工作中达到谐振状态［1］。目前，超声变幅杆的设计主要采用解析法，这种方法虽然物理意义明确，但是这种方法设计出来的变幅杆往往需要修正，以往确定变幅杆的固有频率通常采用试验的方法，比较费时费力。有限元法是把具有无限多自由度的弹性连续体离散为只有有限个自由度的单元几何体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题，这样只需要通过有限元分析就能发现设计是否合理，同样也可以验证解析法设计的是否可靠。本文利用ANSYS Workbench 12.1对某一应用的阶梯型超声变幅杆进行了模态分析，提取了变幅杆的固有频率，并比较了其与设计频率的差值，利用谐响应分析对变幅杆的输出位移和应变情况进行了分析，以进一步验证其可靠性。

1 阶梯型变幅杆解析法设计

本文主要研究的是来源于某课题中的一种阶梯型变幅杆，变幅杆的材料为40Cr钢，主要参数为：弹性模量E＝200 GPa，泊松比γ＝0.3，密度ρ＝7 800 kg／m3，疲劳极限［σ］＝300 MPa。变幅杆工作频率为f＝30 k Hz，放大系数为Mp＝3.24，大、小端半径分别为R1＝20 mm、R2＝11 mm。选择变幅杆中点处为节点，考虑固定需要，在节点附近设计了厚为2 mm的法兰盘，变幅杆中部的Φ3 mm小孔是为了课题需要。经解析法［2］计算得到的变幅杆尺寸如图1所示。

2 用Workbench12.1对变幅杆进行模态分析

2.1 模态分析

在Workbench12.1模型树中选择Model分析模块［3］，导入用Solid Works建立的变幅杆模型，新建变幅杆的材料为40Cr，并添加给模型。网格划分尺寸采用默认设置，得到的模型网格划分结果如图2所示。在分析求解设置过程中，设置求解频率区间为15 k Hz～35 k Hz［4］，求解的阶数为10阶，考虑具体情况在法兰盘处施加完全约束，进行模态分析，共得到8阶频率，如图3所示。

图1 解析法设计的变幅杆结构尺寸

图3 模态分析得到的各阶频率

图2 模型网格划分结果

选择与设计频率相接近的5，6，7阶进行分析，得到如图4所示的对应阶数的振型图。从图4可以看出：与谐振频率最接近的固有频率为29 550 Hz，在此固有频率时变幅杆的变化为纵向的振动，符合设计的需要，同时此时变幅杆频率设计的误差为Δf／f＝1.8%，即与目标值的相对偏差仅为1.8%，能满足实际应用需求；而在22 971 Hz和31 523 Hz时的振型均为弯曲振动。

2.2 变幅杆的谐响应分析

谐响应分析用于确定变幅杆在承受随时间按正弦规律变化的激励位移时的稳态响应，目的是计算出变幅杆的动力响应，得到位移对频率的幅频特性曲线及其他结果随频率变化的情况。对于谐响应分析，峰值响应发生在激励频率和固有频率相等时，只有当变幅杆的工作频率与其固有频率相等时，变幅杆的端面才能达到最大位移。

图4 各阶频率对应的振型

在Workbench中选择谐响应分析模块，导入变幅杆的几何模型图，选择变幅杆的材料为40Cr，在变幅杆法兰盘附近添加完全约束，在变幅杆的大端面施加正弦的位移激励［5］，幅值为9μm，谐响应分析采用Full法，它是采用完整的系统矩阵计算响应。模型建立和网格划分与模态分析相同，设定强制频率范围为29 000 Hz～30 500 Hz，选择频率响应的几何体为变幅杆的小端面，得到的小端面位移－频率响应见图5。从图5中可以看出：在谐振频率为29 550 Hz时小端面的位移约为28.1μm，计算放大系数Mp＝3.12，放大系数的设计误差ΔMp／Mp为3.9%，适合实际的需要。

图5 小端面位移－频率响应分布图

为了检验变幅杆所选材料是否能满足谐振需要，所以分析了整个变幅杆在谐振频率为29 550 Hz时的应力分布情况，得到此时变幅杆的应力分布，见图6。由图6可以看出：阶梯变幅杆的最大应力将在过渡面附近出现，这是比较符合设计的；最大应力为229.11 MPa＜［σ］。所以，本文设计的变幅杆所选的材料也是满足需要的。

图6 谐振频率为29 550 Hz时变幅杆应力分布图

3 结束语

解析法设计变幅杆是近似的，存在一定的误差，只能作为变幅杆的初始设计，针对是否还需要进一步修正设计，我们可以利用有限元法来进行验证，省去通过激振试验进行测量修改的过程。本文利用 Workbench模态分析法计算出变幅杆固有频率与工作频率之间的相对误差，再利用谐响应分析法分析变幅杆固有频率时变幅杆的放大系数和最大应力是否满足实际需要，以此来评价解析法设计的可靠性，为变幅杆的进一步修正提供了可供参考的科学依据。

［1］ 愈载道.结构动力学基础［M］.上海：同济大学出版社，1987.

［2］ 霍树青.耦合式超声复合加工装置的设计研究［D］.南京：南京航空航天大学，2009：26－34.

［3］ 许京荆.ANSYS 13.0 Workbench数值模拟技术［M］.北京：中国水利水电出版社，2012.

［4］ 万德安，刘春节.超声变幅杆的模态分析［J］.机械与电子，2004（4）：10－12.

［5］ 原丰霞，张慧君，朱国良.基于ANSYS的超声变幅杆的优化设计［J］.机械工程师，2004（11）：24－26.