一道课本习题的演变与拓展

王华君

【课本原题】学校生物课外活动小组要在兔舍外面开辟一个面积为20 m2的长方形活动场地. 它的一边靠墙，其余三边利用长13 m的旧围栏. 已知兔舍墙面宽6 m. 问围成长方形的长和宽各是多少？（苏科版数学教材九年级上册第102页第9题）

这个问题的解答比较容易，请自己完成.

【演变过程】将课本中的这道习题变换一下情境，即将“在兔舍外面开辟一个长方形活动场地”置换为“在校园里利用围墙的一段围成一个矩形花园”，将“兔舍墙面宽6 m”改为“校园围墙最长可利用25 m”，将“长13 m的旧围栏”置换为“50 m长的墙的材料”，面积由“20 m2”改为“300 m2”，即可得到下列中考题.

【考题在线】（2012·湖南湘潭）如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.

【思路分析】根据可以砌50 m长的墙的材料，即总长度是50 m，设AB=x m，则BC=（50-2x） m，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解即可.

【满分解答】设AB=x m，则BC=（50-2x） m. 根据题意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 当x1=10时，BC=50-2x=30>25（舍去）；当x2=15时，BC=50-2x=20<25（符合要求）. 故可围成AB长为15米，BC为20米的矩形.

【拓展变式】对上述问题中长方形的个数、形状和可利用的墙长进行变换，可得到许多新问题：

变式1：某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2. 如果围墙MN最长可利用a m，围成长方形的长和宽各是多少？

【思路点拨】先用上述试题的解法求出AB和BC的长，再结合围墙MN最长可利用的长度a m的变化来确定问题的解的情况：当a≥30时，问题有两解；……